双子の４ｎ面体はいずれも内接球・外接球をもつときに，ｓ^3／ｖ^2

最小となった．次に考えるべきは，内接球・外接球をもつ双心の重角錐・重角錐台，ねじれ重角錐・ねじれ重角錐台であろう．

　重角錐，ねじれ重角錐は内接球をもつから，外接球をもつ場合が重要になる．これらについては，ゴールドバーグの論文でも検討されているが，自力でも検討してみたい．

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【１】双心重角錐

　ｎ角錐の側面となる二等辺三角形（底辺１，高さｂ）を平面に投影した二等辺三角形の３辺の長さを（ａ，ａ，１），頂角を２θ，１辺の長さが１の正ｎ角形の

　　中心−辺心間距離：１／２・ｃｏｔ（π／ｎ）

　　中心−頂点間距離：１／２・ｃｏｓｅｃ（π／ｎ）

　ａｓｉｎθ＝１／２→ａ＝１／（２ｓｉｎθ）

　（ａｃｏｓθ）^2＋（１／２・ｃｏｔ（π／ｎ））^2＝ｂ^2

　また，外接球をもつための条件は

　　ａｃｏｓθ＝１／２・ｃｏｓｅｃ（π／ｎ）

より，

　ｂ^2＝（１／２・ｃｏｓｅｃ（π／ｎ））^2＋（１／２・ｃｏｔ（π／ｎ））^2

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【２】双心重角錐台

　ａｓｉｎθ＝１／２→ａ＝１／（２ｓｉｎθ）

　（ａｃｏｓθ）^2＋（１／２・ｃｏｔ（π／ｎ））^2＝ｂ^2

　（ａｃｏｓθ）^2＝ｂ^2−（１／２・ｃｏｔ（π／ｎ））^2・・・［＊］

　内接球の半径をｒとすると

　　ｂ・ｒ＝ａｃｏｓθ・１／２・ｃｏｔ（π／ｎ）→［＊］より，ｒはｂの関数

　　ｒ／ａｃｏｓθ＝１／２ｂ・ｃｏｔ（π／ｎ）→ｂの関数

　ｘ／ａｃｏｓθ＋ｙ／ａｓｉｎθ＝１

にｘ＝ｒを代入すると

　　ｙ＝ａｓｉｎθ（１−ｒ／ａｃｏｓθ）→ａｓｉｎθ＝１／２より，ｂの関数θ

　ｘ／ａｃｏｓθ＋ｚ／１／２・ｃｏｔ（π／ｎ）＝１

にｘ＝ｒを代入すると

　　ｚ＝１／２・ｃｏｔ（π／ｎ）（１−ｒ／ａｃｏｓθ）→ｂの関数

　また，外接球をもつための条件は

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝（１／２・ｃｏｓｅｃ（π／ｎ））^2

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　　ｘ＝ｒ＝｛１−（１／２ｂ・ｃｏｔ（π／ｎ））^2｝^1/2・１／２・ｃｏｔ（π／ｎ）

　　ｙ＝１／２（１−１／２ｂ・ｃｏｔ（π／ｎ））

　　ｚ＝１／２・ｃｏｔ（π／ｎ）（１−１／２ｂ・ｃｏｔ（π／ｎ））

ｙ^2＋ｚ^2＝１／４（１−１／２ｂ・ｃｏｔ（π／ｎ））^2・ｃｏｓｅｃ^2（π／ｎ）

ｘ^2＝１／４｛１−（１／２ｂ・ｃｏｔ（π／ｎ））^2｝・ｃｏｔ^2（π／ｎ）

ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝１／４（１−１／２ｂ・ｃｏｔ（π／ｎ））｛（１−１／２ｂ・ｃｏｔ（π／ｎ））・ｃｏｓｅｃ^2（π／ｎ）＋（１＋１／２ｂ・ｃｏｔ（π／ｎ））・ｃｏｔ^2（π／ｎ）｝

＝１／４（１−１／２ｂ・ｃｏｔ（π／ｎ））｛ｃｏｓｅｃ^2（π／ｎ）＋ｃｏｔ^2（π／ｎ）−１／２ｂ・ｃｏｔ（π／ｎ））｛ｃｏｓｅｃ^2（π／ｎ）−ｃｏｔ^2（π／ｎ）｝｝

｛ｃｏｓｅｃ^2（π／ｎ）−ｃｏｔ^2（π／ｎ）｝＝１より，

ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2

＝１／４（１−１／２ｂ・ｃｏｔ（π／ｎ））｛ｃｏｓｅｃ^2（π／ｎ）＋ｃｏｔ^2（π／ｎ）−１／２ｂ・ｃｏｔ（π／ｎ））｝

ｃｏｓｅｃ^2（π／ｎ）＋ｃｏｔ^2（π／ｎ）＝１＋２ｃｏｔ^2（π／ｎ）

ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2

＝１／４（１−１／２ｂ・ｃｏｔ（π／ｎ））｛１−１／２ｂ・ｃｏｔ（π／ｎ）＋２ｃｏｔ^2（π／ｎ）｝＝（１／２・ｃｏｓｅｃ（π／ｎ））^2

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【３】まとめ

　これらについて，ｓ^3／ｖ^2が最大になるのは双心のときかどうかを検討することになる．

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