双子の三角８面体の場合はどうなるだろうか？

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　正三角形を二等辺三角形（底辺１，高さｂ）に置き換えてみる．それを平面に投影した二等辺三角形の３辺の長さを（ａ，ａ，１），頂角を２θ，開口部の幅をｄとおく．

　ａｓｉｎθ＝１／２→ａ＝１／２ｓｉｎθ

　ｄ＝２ａｓｉｎ（２π−４θ）／２＝２ａｓｉｎ２θ→ｄ＝ｓｉｎ２θ／ｓｉｎθ

　（ａ）^2＋（ｄ／２）^2＝ｂ^2＋１／４

　１＋（ｓｉｎ２θ）^2＝（４ｂ^2＋１）（ｓｉｎθ）^2

　１＋４（ｓｉｎθ）^2（１−ｓｉｎ^2θ）＝（４ｂ^2＋１）（ｓｉｎθ）^2

となって，ｘ＝ｓｉｎ^2θに関する２次方程式となる．

　　４（ｓｉｎθ）^4＋（４ｂ^2−３）（ｓｉｎθ）^2−１＝０

　双子の１６面体の頂点座標は

　　（ａ＋Δ，０，０）

　　（ａｃｏｓ２θ＋Δ，１／２，０）

　　（ａｃｏｓ２θ＋Δ，−１／２，０）

　　（＋Δ，０，ｄ／２）

ここで，

　　Δ＝｜１／２・ａｃｏｓ２θ｜

　　Ｓ＝４ｂ

　しかしながら，幾何学的な制限から２θ＝π／２のとき，（極小値でなく）最小値をとることわかるのである．このとき，

　　４（ｓｉｎθ）^4＋（４ｂ^2−３）（ｓｉｎθ）^2−１＝０

　　１＋（４ｂ^2−３）／２−１＝０

　　ｂ＝√３／２

となって，これは正八面体である．

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