双子の三角１２面体の問題は幾何学的に解ける問題であった．双子の三角２０面体の場合でも同様の定式化を行ってみると，・・・

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　正三角形を二等辺三角形（底辺１，高さｂ）に置き換えてみる．それを平面に投影した二等辺三角形の３辺の長さを（ａ，ａ，１），頂角を２θ，開口部の幅をｄとおく．

　ａｓｉｎθ＝１／２→ａ＝１／２ｓｉｎθ

　ｄ＝２ａｓｉｎ（２π−１０θ）／２＝２ａｓｉｎ５θ→ｄ＝ｓｉｎ５θ／ｓｉｎθ

　（ａｃｏｓθ）^2＋（ｄ／２）^2＝ｂ^2

　（ｃｏｓθ）^2＋（ｓｉｎ５θ）^2＝４ｂ^2（ｓｉｎθ）^2

　１−（ｓｉｎθ）^2＋（１６ｓｉｎ^5θ−２０ｓｉｎ^3θ＋５ｓｉｎθ）^2＝４ｂ^2（ｓｉｎθ）^2

となって，ｘ＝ｓｉｎ^2θに関する５次方程式となる．

　双子の２０面体の頂点座標は

　　（ａｃｏｓθ＋Δ，１／２，０）

　　（ａｃｏｓθ＋Δ，−１／２，０）

　　（ａｃｏｓ３θ＋Δ，ａｓｉｎ３θ，０）

　　（ａｃｏｓ３θ＋Δ，−ａｓｉｎ３θ，０）

　　（ａｃｏｓ５θ＋Δ，ａｓｉｎ５θ，０）

　　（ａｃｏｓ５θ＋Δ，−ａｓｉｎ５θ，０）

　　（＋Δ，０，ｄ／２）

ここで，

　　Δ＝｜１／２・ａｃｏｓ５θ｜

　　Ｓ＝１０ｂ

　しかしながら，幾何学的な制限から５θ＝π／２のとき，（極小値でなく）最小値をとることわかるのである．

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