【1】ヴィエタの解
16x^3-24x^2+(8-4b^2)x+1=0
y=x-24/48=x-1/2とおく.
16(y+1/2)^3-24(y+1/2)^2+(8-4b^2)(y+1/2)+1=0
16(y^3+3/2y^2+3/4y+1/8)-24(y^2+y+1/4)+(8-4b^2)(y+1/2)+1=0
16y^3+24y^2+12y+2-24y^2-24y-6+(8-4b^2)y+(8-4b^2)/2+1=0
16y^3-(4b^2+4)y-(2b^2-1)=0
y^3-(b^2+1)/4・y-(2b^2-1)/16=0
3e^2=(b^2+1)/4
e^2f=(b^2+1)/12・f=(2b^2-1)/16
e={(b^2+1)/12}^1/2
f=3(2b^2-1)/4(b^2+1)
y=2e・cos(1/3・arccos(f/2e))
x=2e・cos(1/3・arccos(f/2e))+1/2
sin^2θ=x
(1-cos2θ)/2=x
1-2x=cos2θ
θ=1/2・arccos(1-2x)
=1/2・arccos(-4e・cos(1/3・arccos(f/2e))
ヴィエタの解に±2π/3してみる.
y=2e・cos(1/3・arccos(f/2e)±2π/3)
x=2e・cos(1/3・arccos(f/2e)±2π/3)+/2
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[まとめ]式はだいぶ簡単になった.このあと,数値計算を試行.bが大きくなるにつれてs^3/v^2は単調減少して,極値をもたないようであった.再び,計算を間違えたのだろうか?
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