球ではＳ＝４πｒ^2，Ｖ＝４πｒ^3／３であるから

　　Ｓ^3／Ｖ^2＝４^3π^3・３^2／４^2π^2＝３６π

となる．

　しかるに，（その３４）では３６π以下まで単調減少してしまう．その原因を掴めないままである．パラメータを変更して再考してみたい．

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　（その２５）の正三角形を二等辺三角形（底辺１，高さｂ）に置き換えてみる．それを平面に投影した二等辺三角形の３辺の長さを（ａ，ａ，１），頂角を２θ，開口部の幅をｄとおく．

　ａｓｉｎθ＝１／２→ａ＝１／２ｓｉｎθ

　ｄ＝２ａｓｉｎ（２π−６θ）／２＝２ａｓｉｎ３θ→ｄ＝ｓｉｎ３θ／ｓｉｎθ

　（ａｃｏｓθ）^2＋（ｄ／２）^2＝ｂ^2

　（ｃｏｓθ）^2＋（ｓｉｎ３θ）^2＝４ｂ^2（ｓｉｎθ）^2

　１−（ｓｉｎθ）^2＋（−４ｓｉｎ^3θ＋３ｓｉｎθ）^2＝４ｂ^2（ｓｉｎθ）^2

　１６ｓｉｎ^6θ−２４ｓｉｎ^4θ＋（８−４ｂ^2）ｓｉｎ^2θ＋１＝０

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　双子の１２面体の頂点座標は

　　（ａｃｏｓθ＋Δ，１／２，０）

　　（ａｃｏｓθ＋Δ，−１／２，０）

　　（ａｃｏｓ３θ＋Δ，ａｓｉｎ３θ，０）

　　（ａｃｏｓ３θ＋Δ，−ａｓｉｎ３θ，０）

　　（＋Δ，０，ｄ／２）

ここで，

　　Δ＝｜１／２・ａｃｏｓ３θ｜

　　Ｓ＝６ｂ

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