デュドニー分割では正三角形の周は正方形の内部に移り，正方形の周は正三角形の内部の点だけから構成されている．この立体版の分割も考えることができる．すなわち，立体Ａの表面が立体Ｂの内部に移り，立体Ｂの表面が立体Ａの内部の点だけから構成されているというものである．これはデュドニー分割よりも難しいリバーシブル問題であるが，このような例として秋山仁先生の「キツネヘビ」があげられる．

　秋山先生は菱形十二面体と直方体の間の立体ハトメ返し，切頂八面体と直方体の間の立体ハトメ返しなど空間充填形同士のハトメ返しが作られ，講演ではそのような小道具を使って菱形十二面体，切頂八面体の体積を求めておられる．また，このとき多面体の形が変形するばかりでなく，菱形十二面体，切頂八面体の表面が直方体の内部に隠れることを利用して，黄色（キタキツネ）を緑（ヘビ）に変色させ，キタキツネが一瞬にしてヘビに飲み込まれる様子を表現している．

　また，

　　［定理］平行多面体の元素数は１である（立方体σ12（σ96），６角柱σ144，菱形１２面体σ192，長菱形１２面体σ384，切頂８面体σ48）．

が成り立つのは平行多面体が空間充填多面体であって，その二面角がπと通約できることに基づいている．今回のコラムではこれらのことについて調べてみよう．

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【１】菱形十二面体と直方体の間の立体ハトメ返し

　直方体と菱形十二面体の二面角をそれぞれδp，δrで表すことにします．直方体の二面角はすべて９０°，「４次元の雪」とも称される菱形十二面体の二面角はすべて１２０°です．

　デーンの補題「分解合同な２つの多面体について，関係式

　　Σｍiαi＝Σｎiβi＋ｋπ　　（αi，βiは二面角，ｍi，ｎiは自然数，ｋは整数）

が成り立つ．」は，ｎ1，ｎ2を０でない整数として，

　　ｎ1α＋ｎ2β＝０　　　（ｍｏｄ　π）

が成り立つとしても同値です．

　この場合，明らかに

　　ｎ1δr＋ｎ2δp＝０　　　（ｍｏｄ　π）

が成り立ちますから，菱形十二面体と直方体の間の立体ハトメ返しが可能となるための必要条件を満たしているというわけです．

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【２】切頂八面体と直方体の間の立体ハトメ返し

　切頂八面体は名前のとおり正八面体の各辺を三等分して頂点を切り取った後に残る多面体です．切頂八面体には２種類の二面角がありますが，ひとつは正八面体の二面角

　　δo＝１０９．４７１°　　（ｃｏｓδo＝−１／３）

もうひとつは切頂によって生ずる二面角

　　δt＝１２５．２６４°　　（ｃｏｓδt＝−√（１／３））

です．

　ここで，

　　δt＝π−δo／２

すなわち，π−正八面体の２面角の半分を意味しているので，

　　ｎ1δt＋ｎ2δo＋ｎ3δp＝０　　　（ｍｏｄ　π）

が成り立つのは当然のことです．

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【３】平行多面体の元素数は１である

　立方体も菱形１２面体も空間充填平行多面体なのですが，本質的な空間充填平行多面体は５種類−−立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体（６角形４枚と菱形８枚の２種類で作る１２面体，菱形１２面体を半分に切ってあいだに四角柱を挟んだもの），切頂８面体−−しかありません．

　立方体の二面角はすべて９０°，正六角柱の二面角は９０°と１２０°，長菱形十二面体の二面角も９０°と１２０°ですから，前項同様，分解合同となるための必要条件を満たしています．

　立方体（Ｃ），６角柱（Ｈ），菱形１２面体（Ｒ），長菱形１２面体（Ｅ），切頂８面体（Ｔ）に共通する構成元素があるとすれば，それは

　　ｎ1δc＋ｎ2δh＋ｎ3δr＋ｎ4δe＋ｎ5δt＝０　　　（ｍｏｄ　π）

を満たさなければなりませんが，実際にそのような元素は存在しそれがσ（ペンタドロン）というわけです．

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