三角１２面体について，体積公式を求めたいのであるが，そのためには表記を簡単にしなければならない．

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【１】ベクトルの外積と平行四辺形

　まず最初に昔なつかしい「ベクトル」を思い出して頂き，「ベクトルの外積」の大きさ，すなわち，２つの２次元ベクトル

　　ａ↑＝（ｘ1，ｙ1）

　　ｂ↑＝（ｘ2，ｙ2）

が作る平行四辺形の面積について考えてみることにします．

　　｜ａ↑｜＝ａ，｜ｂ↑｜＝ｂ

とすれば，平行四辺形の面積は，

　　Ｓ＝ａｂｓｉｎθ

ですから，

　　Ｓ^2＝ａ^2ｂ^2（１−ｃｏｓ^2θ）

　　　　＝｜ａ↑｜^2｜ｂ↑｜^2−（ａ↑・ｂ↑）^2

　　　　＝｜ａ↑・ａ↑　　ａ↑・ｂ↑｜

　　　　　｜ｂ↑・ａ↑　　ｂ↑・ｂ↑｜

で与えられます．内積の行列式で定義される行列式をグラムの行列式（グラミアン）といいます．平行四辺形の面積はグラミアンの平方根に等しくなるというわけです．これを座標を使って表せば，

　　Ｓ^2＝｜ｘ1　ｘ2｜^2

　　　　　｜ｙ1　ｙ2｜

のように展開されます．

　３次元ベクトル

　　ａ↑＝（ｘ1，ｙ1，ｚ1）

　　ｂ↑＝（ｘ2，ｙ2，ｚ2）

のときは，

　　Ｓ^2＝｜ａ↑｜^2｜ｂ↑｜^2−（ａ↑・ｂ↑）^2

　　　　＝｜ｙ1　ｙ2｜^2＋｜ｚ1　ｚ2｜^2＋｜ｘ1　ｘ2｜^2

　　　　　｜ｚ1　ｚ2｜　　｜ｘ1　ｘ2｜ ｜ｙ1　ｙ2｜

これは３次元ベクトル

　　（ｙ1ｚ2−ｚ1ｙ2，ｚ1ｘ2−ｚ2ｙ1，ｘ1ｙ2−ｙ1ｘ2）

の長さの形をしています．

　これは平行六面体の体積

　　　｜ａ↑・ａ↑　　ａ↑・ｂ↑　　ａ↑・ｃ↑｜　｜ｘ1　ｙ1　ｚ1｜^2

Ｖ^2＝｜ｂ↑・ａ↑　　ｂ↑・ｂ↑　　ｂ↑・ｃ↑｜＝｜ｘ2　ｙ2　ｚ2｜

　　　｜ｃ↑・ａ↑　　ｃ↑・ｂ↑　　ｃ↑・ｃ↑｜　｜ｘ3　ｙ3　ｚ3｜

ではなく，平行四辺形の面積であることを注意しておきます．

　　ａ↑＝（ｘ1，ｙ1，ｚ1）

　　ｂ↑＝（ｘ2，ｙ2，ｚ2）

の外積は，３次元ベクトル

　　（ｙ1ｚ2−ｚ1ｙ2，ｚ1ｘ2−ｚ2ｙ1，ｘ1ｙ2−ｙ1ｘ2）

で与えられます．すなわち，外積の大きさ＝平行四辺形の面積なのです．

　少し見ただけではわかりにくい表示で，憶えるのも大変そうですが，行列式を使うと

　　　　　　　　　　　｜ｅ1↑　ｅ2↑　ｅ3↑｜

　　ｃ↑＝ａ↑×ｂ↑＝｜ｘ1　　ｙ1　　ｚ1　｜

　　　　　　　　　　　｜ｘ2　　ｙ2　　ｚ2　｜

上の行から，単位ベクトル，ａ↑の成分，ｂ↑の成分の順に並ぶというわかりやすい形に整理できます．

　同様に，４次元のときは

　　ａ↑＝（ｘ1，ｙ1，ｚ1，ｗ1）

　　ｂ↑＝（ｘ2，ｙ2，ｚ2，ｗ2）

　　Ｓ^2＝｜ａ↑｜^2｜ｂ↑｜^2−（ａ↑・ｂ↑）^2

　　　　＝｜ｙ1　ｙ2｜^2＋｜ｚ1　ｚ2｜^2＋｜ｘ1　ｘ2｜^2

　　　　　｜ｚ1　ｚ2｜　　｜ｘ1　ｘ2｜ ｜ｙ1　ｙ2｜

　　　　＋｜ｘ1　ｘ2｜^2＋｜ｙ1　ｙ2｜^2＋｜ｚ1　ｚ2｜^2

　　　　　｜ｗ1　ｗ2｜　　｜ｗ1　ｗ2｜ ｜ｗ1　ｗ2｜

これは６次元ベクトルの長さの形をしていることがわかります．

　一般のｎ次元の空間では

　　ａ↑＝（ｕ1，・・・，ｕn）

　　ｂ↑＝（ｖ1，・・・，ｖn）

に対し，

　　Ｓ^2＝｜ａ↑｜^2｜ｂ↑｜^2−（ａ↑・ｂ↑）^2

　　　　＝Σ（ｕjｖk−ｕkｖj）^2

ただし，Σはｊ＜ｋとなるnＣ2＝ｎ（ｎ−１）／２組に対して和をとるものとします．

　これは，ｎ（ｎ−１）／２次元ベクトルの長さの形をしているのですが，空間の次元が３のときだけ，運よく３次元ベクトルが得られていることがおわかり頂けたしょうか？　この事実は，外積が３次元ベクトルでしか定義できないことを示しています．

　ベクトルの外積は３次元特有のもので，２次元でも４次元でもだめなのですが，ほとんどの物理現象は３次元空間で生じますから，これでも汎用性は高いというわけです．

　また，このことは，ベクトルの内積が一般のｎ次元空間でも

　　ａ↑・ｂ↑＝Σｕkｖk

と表されるのと対照的です．もっとも４次元以上では２つのベクトルａ↑，ｂ↑の張る平面に直交する方向は一義ではなくなるので，話がおかしくなってしまうのですが・・・．

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