たとえば，三角八面体の体積の公式にはΔ^16が含まれています．これ以上面の数が増えると次数は急速に大きくなります．三角１２面体について，体積公式を求めてみたい．

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　三角形の面積，四面体の体積を座標を使って表すためにはｎ＋１個の点の座標に（１，１，１，・・・，１）を加えて作られる（ｎ＋１）次の行列式の絶対値を考えます．

　　｜Ｓ｜＝｜１　ｘ1　ｙ1｜　　　｜Ｖ｜＝｜１　ｘ1　ｙ1　ｚ1｜

　　　　　　｜１　ｘ2　ｙ2｜　　　　　　　｜１　ｘ2　ｙ2　ｚ2｜

　　　　　　｜１　ｘ3　ｙ3｜　　　　　　　｜１　ｘ3　ｙ3　ｚ3｜

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜１　ｘ4　ｙ4　ｚ4｜

　原点が含まれるときは，

　　｜Ｓ｜＝｜ｘ1　ｙ1｜　　　｜Ｖ｜＝｜ｘ1　ｙ1　ｚ1｜

　　　　　　｜ｘ2　ｙ2｜　　　　　　　｜ｘ2　ｙ2　ｚ2｜

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ｘ3　ｙ3　ｚ3｜

のように展開されます．

　これらはそれぞれｎ次元単体の体積のｎ！倍になりますから，三角形の面積，四面体の体積は，

　　Ｓ’＝Ｓ／２

　　Ｖ’＝Ｖ／６

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Δ＝ｘ1ｙ2ｚ3＋ｘ3ｙ1ｚ2＋ｘ2ｙ3ｚ1−ｘ1ｙ3ｚ2−ｘ2ｙ1ｚ3−ｘ3ｙ2ｚ1

原点から底面までの距離Ｈは

Δ1＝（ｙ2ｚ3＋ｙ1ｚ2＋ｙ3ｚ1−ｙ3ｚ2−ｙ1ｚ3−ｙ2ｚ1）／Δ

Δ2＝（ｘ1ｚ3＋ｘ3ｚ2＋ｘ2ｚ1−ｘ1ｚ2−ｘ2ｚ3−ｘ3ｚ1）／Δ

Δ3＝（ｘ1ｙ2＋ｘ3ｙ1＋ｘ2ｙ3−ｘ1ｙ3−ｘ2ｙ1−ｘ3ｙ2）／Δ

として，

Ｈ＝１／｛Δ1^2＋Δ2^2＋Δ3^2｝^1/2

　また，底面積は

ａ＝（ｘ2−ｘ1，ｙ2−ｙ1，ｚ2−ｚ1）

ｂ＝（ｘ3−ｘ1，ｙ3−ｙ1，ｚ3−ｚ1）

として，

Ｓ＝｜ａ｜｜ｂ｜ｓｉｎθ

ｃｏｓθ＝｛（ｘ2−ｘ1）（ｘ3−ｘ1）＋（ｙ2−ｙ1）（ｙ3−ｙ1）＋（ｚ2−ｚ1）（ｚ2−ｚ1）｝／｜ａ｜｜ｂ｜

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