コクセターは１つの泡に接する泡の数を
（２３＋√３１３）／３＝１３．５６
と計算し，そのアイデアを日記に記しているそうである．
これは２次方程式
３ｘ^2−４６ｘ＋７２＝０
の解となっていることが見てとれるが，コラム「泡細胞の幾何学」に示した計算法では２次方程式が現れる気配はまったくなかった．どのようにして導出されたものなのだろうか？
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】ヒーウッドの公式
オイラーの公式：ｖ−ｅ＋ｆ＝２は単純ですが，要はその使い方というわけで，たとえば，多面体には３角形か４角形面か５角形面が少なくとも１つなければならないことはもっと簡単に証明できます．
どの領域も少なくとも６つの領域で囲まれていると仮定すると
６ｆ≦２ｅ
また，このような問題を解くにあたっては，すべての交点で３本の境界線が会している地図だけを考えればよいので，
３ｖ≦２ｅ
これらをオイラーの公式に代入すると
ｖ−ｅ＋ｆ≦１／３ｅ−ｅ＋２／３ｅ＝０≠２
となって矛盾を生じます．したがって，５個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることになります．
平面や球面上に描かれた地図に関するオイラーの公式は
ｖ−ｅ＋ｆ＝２
でしたが，トーラス上の地図に関するオイラーの公式は
ｖ−ｅ＋ｆ＝０
です．
トーラスでは６個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることを証明するために，どの領域も少なくとも７つの領域で囲まれていると仮定すると
７ｆ≦２ｅ
また，３ｖ≦２ｅですから
ｖ−ｅ＋ｆ≦２／７ｅ−ｅ＋２／３ｅ＝−１／２１ｅ≠０
という矛盾を引き出すことができます．
したがって，トーラスでは６個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることになります．このことを利用すると，
「トーラス上のどんな地図でも７色で塗り分けられる」
ことが証明されます．ヒーウッドは実際に７色を必要とする例もあげています．
これを証明したヒーウッドはさらにｇ個の穴があいたトーラス上の地図に関するオイラーの公式
ｖ−ｅ＋ｆ＝２−２ｇ
を利用して
(1)２個の穴があいているトーラス上の地図はどれも８色で塗り分けられる
(2)３個の穴があいているトーラス上の地図はどれも９色で塗り分けられる
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
(3)１０個の穴があいているトーラス上の地図はどれも１４色で塗り分けられる
に引き続いて，
(4)ｇ個の穴があいているトーラス上の地図はどれもＨ（ｇ）色で塗り分けられる
Ｈ（ｇ）＝［｛７＋√（１＋４８ｇ）｝／２］
を証明しました．
種数ｇのトーラスの彩色数が，２次不等式
ｘ^2−７ｘ＋１２（１−ｇ）≧０
の解に帰着されることについては，コラム「ヒーウッドの公式について」をご参照ください．
［・］はガウス記号で，
ｇ：１，２，３， ４， ５， ６， ７， ８， ９，１０
Ｈ：７，８，９，１０，１１，１２，１２，１３，１３，１４
となるのですが，しかし，ヒーウッドはｇ≧２に対してそのような地図が実在することを示すことはできませんでした．そのため，この問題は「ヒーウッド予想」と呼ばれることになりました．
１９６８年，リンゲルとヤングスは，ｇ個の穴のあいているトーラス上にこれだけの色を必要とする地図が存在することを証明したのですが，ヒーウッド予想（１８９０年）が最終的に証明されるまでには７７年もの歳月が必要だったというわけです．導出法についてはコラム「ヒーウッドの公式について」をご参照願います．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】１つの泡に接する泡の数（その１）
［Ｑ］３次元では泡細胞は１４面体を中心とした分布をなし（面数の平均は＜１４），すべての泡細胞が１４面以上の面をもつことは不可能である．
［Ａ］３次元の空間が多面体により分割されるとき，３個の多面体の面が合して１本の稜線を形成し（内容的には同じことであるが）４本の稜線が１点に集まる．集合体から１個の多面体を分離して考えてみると，分割多面体の幾何学的性格で最も重要なものは，多面体のいずれの頂点にも３本の稜が集まるということである．そしてこのような多面体で空間を充填すれば，１個の頂点は４個の多面体によって共有され，そこには必ず４本の稜が集まる形になる．
各分割多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖi，ｅi，ｆiとする．
ｖi−ｅi＋ｆi＝２
分割多面体では１個の頂点に３本の辺が集まり，また１本の辺は２個の頂点を結ぶことから，
２ｅi＝３ｖi
また，集合多面体の頂点，辺，面，胞の数をそれぞれＶ，Ｅ，Ｆ，Ｃとすると
Σ（ｖi−ｅi＋ｆi）＝２Ｃ
空間分割の面の数などは一義的には決まらず，統計的にしか扱えないので，各多面体の平均頂点数，辺数，面数ｖ1，ｅ1，ｆ1とおくと
ｖ1Ｃ＝Σｖi，ｅ1Ｃ＝Σｅi，ｆ1Ｃ＝Σｆi
ｖ1Ｃ−ｅ1Ｃ＋ｆ1Ｃ＝２Ｃ
ｆ1≒１４が証明したい事柄である．なお，Ｖ≠Σｖi，Ｅ≠Σｅi，Ｆ≠Σｆiであることを注意しておく．
平均的多面体の各面をｐ角形，各頂点にｑ面が会するとし，各辺にｒ個の多面体（ｐ，ｑ）が集まるものとする．境界多面体（ｐ，ｑ）の平均的な頂点数，辺数，面数は（ｖ1，ｅ1，ｆ1）となる．また，頂点に集まる辺の中点を結んでできる多面体はｑ角形が１つの辺にｒ面会した多面体（ｑ，ｒ）になっていて，その図形は（ｖ2，ｅ2，ｆ2）で表されるものとする．
３次元の握手定理は多彩になって
ｆ1Ｃ＝２Ｆ，ｖ1Ｃ＝ｆ2Ｖ，ｖ2Ｖ＝２Ｅ，ｅ1Ｃ＝ｒＥ＝ｐＦ＝ｅ2Ｖ
であるが，仮定により
ｑ＝ｒ＝３，ｖ2＝４，ｅ2＝６，ｆ2＝４
であるから
ｆ1Ｃ＝２Ｆ，ｖ1Ｃ＝４Ｖ，４Ｖ＝２Ｅ，ｅ1Ｃ＝３Ｅ＝ｐＦ＝６Ｖ
これを
ｖ1Ｃ−ｅ1Ｃ＋ｆ1Ｃ＝２Ｃ
に代入すると
（２−ｐ／３）Ｆ＝２Ｃ
ｆ1＝２Ｆ／Ｃ＝１２／（６−ｐ）
ｖ1＝４Ｖ／Ｃ＝４／（ｐ／６−１）
ｅ1＝６Ｖ／Ｃ＝６／（ｐ／６−１）
ここで位相幾何学的証明でなく，計量的証明が必要になるのであるが，３次元空間充填であるためには，等式
ｃｏｓ（π／ｑ）＝ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）
が成り立たなくてはならない．ｑ＝ｒ＝３を代入すると
ｓｉｎ（π／ｐ）＝ｃｏｔ（π／３）＝√（１／３）
ｐ＝５．１０４４・・・
ｆ1＝１３．３９８・・・＜１４
ｖ1＝２２．７９６・・・
となる．
なお，
Ｖ−Ｅ＋Ｆ−Ｃ＝０
を用いても，
ｆ1＝２Ｆ／Ｃ＝１２／（６−ｐ）
を導き出すことは可能である．厳密にいうと
Ｖ−Ｅ＋Ｆ−Ｃ＝１
であるが，何千という小さな泡の集合体を想定して，非常に多くの多面体を統計的に扱うので右辺は０としてかまわない．しかし，Ｖ−Ｅ＋Ｆ−Ｃ＝１を用いればもっとｆ1≒１４に近づくであろう．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【３】１つの泡に接する泡の数（その２）
ここでは，別の方法でもっと簡単に１つの泡に接する泡の数を計算してみます．２つの泡がくっついたとき，その境界も球面になり，この３つの球面の接合角度は１２０°となります．また，互いに１２０°の角度で交わる石鹸膜の交線は
ａｒｃｃｏｓ（−１／３）＝１０９．４７１°
で接触します．正四面体の頂点から中心に向かう３枚の膜は互いに１２０°の角度をなし，中心に集まる４本の線は１０９．４７１°（マラルディの角）をなすのです．
１２０°と１０９．４７１°は石鹸膜が接触するときの基本的な角度ですが，ここで泡が内角１０９．４７１°の正多角形からなる正多面体とみなせば，面は
ｐ＝３６０／１０９．４７１＝５．１０４
角形となります．
また，３ｖ＝ｐｆ，２ｅ＝ｐｆを，オイラーの多面体定理に代入すると
ｐｆ／３−ｐｆ／２＋ｆ＝２
ｆ＝１２／（６−ｐ）
ｆ＝１３．３９，ｖ＝２２．７８，ｅ＝３４．１８
すなわち，泡の平均の姿は２２．７８個の頂点，３４．１８本の辺，１３．３９枚の面からなる面が５．１０４角形の立体となることがわかります．平均的な泡細胞は正１２面体にやや似たものになるというわけです．
（その１）でもｆ＝１２／（６−ｐ）にｐ＝５．１０４を代入することによってｆ＝１３．３９が得られましたが，（その１）で行った計算
ｓｉｎ（π／ｐ）＝√（１／３）
はπ／ｐが正四面体の２面角の半分に等しいことを意味しているので，（その２）の結果とよく符合するのは当然のことです．
実験的研究から多面体の面数は１４面，面の形は五角形がもっとも多いことが知られていますが，理論的にもかなりよく符合する結果が得られ，実験で得られた値を裏付ける１つの根拠を与えてくれるのです．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【４】１つの泡に接する泡の数（その３）
ｆ＝（２３＋√３１３）／３＝１３．５６
が２次方程式
ａｘ^2＋２ｂｘ＋ｃ＝０
の解だとすると，
ｆ＝（−ｂ＋√（ｂ^2−ａｃ））／ａ
より，
ａ＝３，ｂ＝−２３，ｃ＝７２
３ｘ^2−４６ｘ＋７２＝０
となります．
また，
ｆ＝（−ｂ＋√（ｂ^2−ａｃ））／ａ
の分子を有理化すると
ｆ＝ｃ／（−ｂ−√（ｂ^2−ａｃ））
より，
ｐ＝６（ｆ−２）／ｆ＝６（ｃ＋２ｂ＋２√（ｂ^2−ａｃ））／ｃ
＝（２６＋２√３１３）／１２＝５．１１５３
ｐが２次方程式
Ａｘ^2＋２Ｂｘ＋Ｃ＝０
の解だとすると，
ｐ＝（−Ｂ＋√（Ｂ^2−ＡＣ））／Ａ
より，
Ａ＝１２，Ｂ＝−２６，Ｃ＝−４８
１２ｘ^2−５２ｘ−４８＝０
となります．
ｐ＝２π／ａｒｃｃｏｓ（−１／３）＝５．１０４
からｐの近似値を２次方程式の解として求められればよいのですが，そのような方法が思いつきません．
また，
ｆ＝（２３＋√３１３）／３＝１３．５６，ｐ＝５．１１５３
とｆ＝１３．３９，ｐ＝５．１０４は微妙な食い違いを示していることから，両者は別の理論的模型に由来しているのではないかと推察されます．これ以上の考察は次回以降の宿題としたいと思います．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝