ユークリッドは正多面体（プラトン立体）が５つしか存在しないことを証明した．シュレーフリは４次元空間に凸の正多胞体は６つしかないことを証明した．今回のコラムではこれらのことをシュレーフリ記号を用いて補足説明したい．
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【１】ユークリッドの証明
正多面体の各面を正ｐ角形，各頂点にｑ面が会するとすると，頂点の周囲は４直角未満ですから，不等式
２ｑ（１−２／ｐ）＜４，すなわち，
１／ｐ＋１／ｑ＞１／２ （ｐ，ｑ≧３）
（ｐ−２）（ｑ−２）＜４
が正多角形となる必要条件です．
このような整数の組は（ｐ，ｑ）＝（３，３），（３，４），（３，５），（４，３），（５，３）の５通りで，それぞれ，正４面体，正８面体，正２０面体，正６面体，正１２面体に対応します．すなわち，正多面体は正４・６・８・１２・２０面体の５種類あって５種類しかないことはプラトンの時代にはすでに見つけられていて，それらがプラトンの自然哲学で重要な役割を演ずるところから，正多面体はプラトンの立体（Platonic solid）とも呼ばれています．
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【２】シュレーフリの証明
３次元正多面体が５種類あって５種類しかないことは，オイラーの多面体定理（ｖ−ｅ＋ｆ＝２）と握手定理（多面体の１つの頂点に集まる面の形と数をｐ，ｑとすると，ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅ）から簡単に証明できます．
高次元でも３次元と同様の方法によって正則胞体を定めることができるはずなのですが，いざ「４次元正胞体は６種類，５次元以上では３種類ある」ことを証明しようとすると簡単にはいきません．
３次元のオイラーの公式は
ｖ−ｅ＋ｆ＝２
ですが，４次元では
ｖ−ｅ＋ｆ−ｃ＝０ （シュレーフリ，１８５２年）
で，３次元のときとは違って定数項がないため，それだけでは頂点，辺，面，胞数の計算ができないという壁にぶつかるからです．
しかし，前項と同様の方法によって，４次元の空間における正則胞体の必要条件を定めることができます．（ｐ，ｑ，ｒ）すなわち合同な正多面体（ｐ，ｑ）の各面が２つの（ｐ，ｑ）に属し，各辺がｒ個の（ｐ，ｑ）に属すとしましょう．すなわち，これらの４次元正多胞体はシュレーフリ記号｛ｐ，ｑ，ｒ｝・・・各頂点にｐ角形がｑ面集まる多面体が各辺にｒ個集まる・・・で表記されるとします．
３次元正多面体（ｐ，ｑ）を各辺のまわりにｒ個集めてできる４次元正多胞体の必要条件は，２面角のｒ倍が４直角未満ですから，正４面体（３，３）の２面角は７１°より少し小さいので，１本の辺に３，４，５個の正４面体を置くことができます→（３，３，３），（３，３，４），（３，３，５）．
立方体（４，３）の２面角は直角ですから，１本の辺のまわりに４個の立方体で隙間なく空間を充填します．しかし，（４，３，４）では無限の多面体になってしまいますから，超立方体（４，３，３）は有限胞体になります．
正８面体と正１２面体の２面角は，９０°と１２０°の間にあるので，１辺の周囲には３個の正多面体が置けます→（３，４，３），（５，３，３）．正２０面体の２面角は１２０°より大きいので，このようなことはできません．
すなわち，正４面体に対してはｒ＝２，３，４．正６，８，１２面体に対してはｒ＝３．正２０面体では許されないので，結局，正多胞体の可能性としては（３，３，３），（３，３，４），（３，３，５），（４，３，３），（３，４，３），（５，３，３）しかあり得ないことがわかります．
以上の必要条件をまとめると
１／ｐ＋１／ｑ＞１／２ （ｐ，ｑ≧３）
１／ｑ＋１／ｒ＞１／２ （ｑ，ｒ≧３）
となります．そして，実際にこの６通りの正多胞体が構成できます．なお（４，３，４）は角の和がちょうど４直角となるので，３次元空間充填形です．
そうすることによって，以下の結果が得られます（境界面ｐ，頂点に集まる面ｑ，辺に集まる胞ｒ）．
境界多面体 境界面ｐ 頂点に集まる面ｑ 辺に集まる胞ｒ
５胞体 正４面体 ３ ３ ３
８胞体 立方体 ４ ３ ３
１６胞体 正４面体 ３ ３ ４
２４胞体 正８面体 ３ ４ ３
１２０胞体 正１２面体 ５ ３ ３
６００胞体 正４面体 ３ ３ ５
すなわち，４次元の６個の正多胞体とは，正５胞体（胞が４面体で各辺に３つの４面体が集まる），正８胞体（胞が立方体で各辺に３つの立方体が集まる），正１６胞体（胞が４面体で各辺に３つの４面体が集まる），正２４胞体（胞が８面体で各辺に４つの８面体が集まる），正１２０胞体（胞が１２面体で各辺に３つの１２面体が集まる），正６００胞体（胞が４面体で各辺に５つの４面体が集まる）である．なお，頂点に集まる胞数は以下の通りである．
境界多面体 頂点に集まる胞 シュレーフリ記号
５胞体 正４面体 ４ ｛３，３，３｝
８胞体 立方体 ４ ｛４，３，３｝
１６胞体 正４面体 ８ ｛３，３，４｝
２４胞体 正８面体 ６ ｛３，４，３｝
１２０胞体 正１２面体 ４ ｛５，３，３｝
６００胞体 正４面体 ２０ ｛３，５，５｝
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【３】高次元の正多胞体と双対性
R^2の正多角形は無限個ある．それに対して，R^3のなかの正多面体は５種類，R^4では６種類，５次以上では正（ｎ＋１）胞体（正４面体の拡張），正２ｎ胞体（正６面体の拡張），正２^n胞体（正８面体の拡張）の３種類しか存在しないことが知られている．
すなわち，五次元以上のｄ次元の場合は，２ｄ個の頂点と２^d個の辺をもつ双対立方体（三次元では正八面体），２^d個の頂点と２ｄ個の辺をもつ立方体，ｄ＋１個の頂点とｄ＋１個の辺をもつ正単体（三次元では正四面体）の３つですべての正多面体をつくしているのである．
三次元の場合はこれらの他に２つの正多面体＜正十二面体と正二十面体＞があり，四次元の場合は他に３つ＜正２４胞体，正１２０胞体，正６００胞体＞あるといったほうがわかりやすいかと思われる．その意味で，３次元・４次元は特殊な次元なのである．
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３次元には５つの正多面体（プラトン立体）がある．リストアップすると，正４面体，立方体，正８面体，正１２面体，正２０面体である．正４面体はそれ自身と双対であり，立方体は正８面体と，正１２面体は正２０面体と双対である．
４次元空間の正多胞体
境界多面体 頂点数 双対性 ３次元対応
５胞体 正４面体 ５ 自己双対（非中心対称） 正４面体
８胞体 立方体 １６ １６胞体と双対 立方体
１６胞体 正４面体 ８ ８胞体と双対 正８面体
２４胞体 正８面体 ２４ 自己双対（中心対称）
１２０胞体 正１２面体 ６００ ６００胞体と双対 正１２面体
６００胞体 正４面体 １２０ １２０胞体と双対 正２０面体
４次元には６種類の正多胞体がある．正８胞体（４次元立方体）のほか，
正５胞体（４次元正４面体：自己双対）
正１６胞体（４次元正８面体）
正２４胞体（相当する正多面体はない：自己双対）
正１２０胞体（４次元正１２面体）
正６００胞体（４次元正２０面体）
である．正８胞体と正１６胞体，正１２０胞体と正６００胞体は互いに双対，正５胞体と正２４胞体はそれぞれ自分自身に双対である．
ｎ次元空間の正多胞体（ｎ≧５）
境界胞体 頂点 双対性 対応
（ｎ＋１）胞 ｎ胞体 ｎ＋１ 自己双対 正４面体・５胞体
２ｎ胞体 （２ｎ−２）胞体 ２^n ２^n胞体 立方体・８胞体
２^n胞体 ｎ胞体 ２ｎ ２ｎ胞体 正８面体・１６胞体
双対性からみて，正４面体，正６面体，正８面体の多次元への拡張はわかりやすいと思われるが，３次元空間の正１２面体，正２０面体，４次元空間の２４胞体，１２０胞体，６００胞体は，より高次元においては対応するものをもたない．しかし，それよりも，三次元の場合はこれらの他に２つの正多面体＜正十二面体と正二十面体＞があり，四次元の場合は他に３つ＜正２４胞体，正１２０胞体，正６００胞体＞あるといったほうがわかりやすいだろう．
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ここで最も気になるのが正２４胞体である．正２４胞体に相当する３次元正多面体はない．なぜかというと，正２４胞体は自己双対かつ中心対称であり，３次元空間でそれに対応する正多面体はないからである．
すなわち，正２４胞体（２４胞，正３角形のみからなる９６面，９６辺，２４頂点）こそが，四次元特有の物体であると考えられるのであるが，正２４胞体は，四次元空間で三次元空間の立方体にあたる正八胞体（８胞，２４面，３２辺，１６頂点）と正八面体にあたる正十六胞体（１６胞，３２面，２４辺，８頂点）を重ねてできることから，その意味で４次元版の菱形十二面体に相当する．２４胞体は，すべての次元を通じて，単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であって，例外中の例外といってもよいものであろう．
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