［１］デルタ充填

　デルタ多面体は双子の正１２面体を除くと，正三角錘，正四角錘，正五角錘，正三角柱に分解されるが，いろいろ試した結果，どの組み合わせもうまくいかないことがわかった．とはいってもすべての組み合わせについてしらみつぶしに検索したわけではないし，試行錯誤でそこまでやることは到底出来ない相談である．そこで，コンピュータで計算させることにした．

　　正四面体　→　ｃｏｓδ4＝１／３，δ4＝７０．５２８８

　　正八面体　→　ｃｏｓδ8＝−１／３，δ8＝１０９．４７１

　　正二十面体　→　ｃｏｓδ20＝−√５／３，δ20＝１３８．１９

　　△６面体　→　δ4＝７０．５２８８

　　　　　　　　　ｃｏｓδ＝−７／９，δ＝１４１．０５８＝２δ4

　　△１０面体　→　δ20＝１３８．１９

　　　　　　　　　ｃｏｓδ＝（−５＋４√５）／１５，δ＝７４．７５４８

　　△１４面体　→　δ8＝１０９．４７１

　　　　　　　　　　ｃｏｓδ＝−√２／√３，δ＝１４４．７３６

　　　　　　　　　　ｃｏｓδ＝−√２／√３−１／６，δ＝１６９．４７１

　　△１６面体　→　δ8＝１０９．４７１

　　　　　　　　　ｃｏｓδ＝−（√２−１）／√３，δ＝１０３．８３６

　　　　　　　　　ｃｏｓδ＝−２（２√２−１）／７，δ＝１２１．４９４

　△１２面体の場合は３次方程式の解を必要とする．（この方程式とはｘ^2＝ｚとおくと，ｚ^4−２１ｚ^3＋１３２ｚ^2−３２０ｚ＋２５６＝０であるが，　　（ｚ−４）（ｚ^3−１７ｚ^2＋６４ｚ−６４）＝０

となって３次方程式に帰着される．ゆえに△１２面体は定規とコンパスによって作図可能ではない．）

　θ＝１／３・ａｒｃｔａｎ（２４√２３７／８８１）

　ｚ＝１／３｛１７−√９７（ｃｏｓθ＋√３ｓｉｎθ）｝＝１．６６１９６

　ｘ＝１．２８９１７

より，△１２面体の二面角は

　δ＝９６．１９８２

　δ＝１２１．７４３

　δ＝１６６．４４１

　これらすべての組み合わせについて

　　Σｎδ＝３６０

を満たす解を探索すると（正四面体，△６面体）×（正八面体）の組み合わせしかないことがわかった．デルタ多面体による空間充填は本質的に正四面体と正八面体の組み合わせのほかにはないのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝