拡張コクセターグラフにおけるα0は無限鏡映群に対応するするものであるが,有限鏡映群の位数決定にも重要な枠割りを果たしている.
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【1】An
α1=e2-e1=(-1,1,0,・・・,0)
α2=e3-e2=(0,-1,1,・・・,0)
αn=en+1-en=(0,・・・,0,-1,1)
さらに,
α0=en+1-e1=(-1,0,・・・,0,1)
として,拡張コクセターグラフを考えてみます.
α1・α2=-1/2→θ=π/3
-α1・α0=-1/2→θ=π/3
-αn・α0=-1/2→θ=π/3
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【2】Bn
α1=e1=(1,0,0,・・・,0)
α2=e2-e1=(-1,1,0,・・・,0)
αn=en-en-1=(0,・・・,0,-1,1)
さらに,
α0=en-1+en=(0,・・・,1,1)
として,拡張コクセターグラフを考えてみます.
α1・α2=-1/√2→θ=π/4
-αn・α0=0→θ=π/2
-αn-1・α0=-1/2→θ=π/3
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【3】Cn
α1=e1+e2=(1,1,0,・・・,0)
α2=e2-e1=(-1,1,0,・・・,0)
αn=en-en-1=(0,・・・,0,-1,1)
さらに,
α0=en-1+en=(0,・・・,0,1,1)
として,拡張コクセターグラフを考えてみます.
α1・α2=0→θ=π/2
-αn・α0=0→θ=π/2
-αn-1・α0=-1/2→θ=π/3
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【4】Dn
α1=2e1=(2,0,0,・・・,0)
α2=e2-e1=(-1,1,0,・・・,0)
αn=en-en-1=(0,・・・,0,-1,1)
さらに,
α0=2en=(0,・・・,0,2)
として,拡張コクセターグラフを考えてみます.
α1・α2=-1/√2→θ=π/4
-αn・α0=-1/√2→θ=π/4
-αn-1・α0=-1/2→θ=π/3
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