１つの１０円玉を机の上において，それと触れ合うようにかつお互いに重ならないようにして，６個の１０円玉を置くことができます．１次元の球は区間であり，接触数は１次元のとき２個，２次元のとき６個であることは自明であって，幼稚園児でも解くことができそうです．
平面上で与えられるたいていの問題は，３次元あるいは高次元の空間で考察することができます．一般に，ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τn は接吻数（kissing number）あるいは接触数（contact number）と呼ばれていて，最密充填構造「同じ半径の球をできるだけ稠密詰めるにはどうしたらよいか」という空間の球による充填問題と深い関連があります．
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【１】kissing numberの問題
１０円玉の例からわかるようにτ2＝６ですが，ｎ≧３のとき，τn はどうなるでしょうか？ ３次元の球の最大接触数τ3については，１６９４年にニュートンとグレゴリーの間で議論され，ニュートンは１２を，グレゴリーは１３を主張したといわれています．結局，ニュートンは１２個が最大であるという証明ができず，グレゴリーも１３個並べたわけではないので，「ニュートンの１３球問題」と呼ばれるこの論争は引き和けに終わりました．
１８７４年，ホッペが１２個が最大であることという証明を試みましたが，不備があり，ようやく完全な証明がなされたのは１９５３年，ファン・デル・ヴェルデンとシュッテによってです．つまり，３次元空間内で１つの球には同時に１２個の球しか接することができません．３次元のときは１２個という解が得られるまで非常に長い年月がかかったことになります．
４次元の場合はどうなるでしょうか？ ２４個の面心立方格子状配置の接触点
1/√2（±１，±１，０，０）
1/√2（±１，０，±１，０）
1/√2（±１，０，０，±１）
1/√2（０，±１，±１，０）
1/√2（０，±１，０，±１）
1/√2（０，０，±１，±１）
で重ならないように置けるので，τ4≧２４は明らかです．また，スローンとオドリツコは４次元における上限を２５に，ハーディンがそれを２４にまで下げました（τ4＝２４）．
ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τnの正確な値を決定する問題は大変難しく，５次元以上の高次元については，高度に対称的な格子状配置になっている８次元（２４０個）と２４次元（１９６５６０個）の場合を除いて未解決であり，現在，正確な値が知られているのは，τ1＝２，τ2＝６，τ3＝１２，τ4＝２４，τ8＝２４０，τ24＝１９６５６０の５つだけなのです．
専門的になりますが，τ8の２４０個の点はＥ8型の単純リー代数の２４０個のルート格子で実現されます．さらに，この詰め込みの断面（部分格子）が６次元と７次元のもっとも効率のいい格子状詰め込みを与えてくれます．
また，１９６５年，リーチは群論と深く結びついた今日リーチ格子として知られるようになったものに基づいて，２４次元空間の格子状詰め込みを構成しました．この詰め込みにおいては，なんと１つの超球に１９６５６０個もの超球が接触しています．τ24の１９６５６０個の点はリーチ格子の原点から一番近い点の集合として得られることが知られています．
８次元と２４次元は，接吻数が計算できる特殊な次元なのであり，都合のいい格子（８次元の場合，格子にはＥ8，２４次元の場合，リーチ格子という名前が付いている）がひとつに決まるので，格子上に球を配置することによってすぐに接吻数を数えることができるというわけです．
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こうして，ｎ≦２４のときのすでに知られている上界・下界がオドリツコ，スローンによって与えられています．τnの知られている上限と下限の間の差はまだ非常に大きいといえます．
ｎ τn ｎ τn
1 2 13 1130〜2233
2 6 14 1582〜3492
3 12 15 2564〜5431
4 24 16 4320〜8313
5 40〜46 17 5346〜12215
6 72〜82 18 7398〜17877
7 126〜140 19 10668〜25901
8 240 20 17400〜37974
9 306〜380 21 27720〜56852
10 500〜595 22 49896〜86537
11 582〜915 23 93150〜128096
12 840〜1416 24 196560
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【２】コクセターの方法
kissing numberの問題は
τ1＝２，τ2＝６，τ3＝１２
そして，４次元以上の高次元では，８次元（２４０個）と２４次元（１９６５６０個）の場合を除いて未解決です．
τ8＝２４０，τ24＝１９６５６０
ｎ次元球のkissing numberの上界は，コクセターの方法によって粗雑ながら押さえられます．それは１球面上に大きさの等しい球帽（球面上の円，球面半径φ）を埋め込むときの最密充填の問題に帰着されるのですが，それは単体的密度限界
ｄn＝（２ｎ／（ｎ＋１））^(-n/2)Ｄn
＝（ｎ＋１）^(1/2)（ｎ！）^2／２^(3n/2)・ｖnＦn(1/2arcsec(n)θ)
と類似の方法になっています．
ｎ次元正単体（二面角２θ）の頂点を超球の中心において，（ｎ−１）次元球面上に射影します．球面上には（ｎ−１）次元球面正三角形ができ，その面積は
Σ＝２^(-n)ｎ！ｓnＦn(θ)
で与えられます．これは正単体の１辺の球面距離２φの関数になります．
また，σを球面正三角形の頂角の和とすると，球面上にはｎ個の点が配置され，（ｎ−２）次元球帽が（ｎ−１）次元球面を覆うことになります．そして，１つの頂角は（ｎ−１）次元正単体を（ｎ−２）次元球面上に射影したものに等しくなりますから
σ＝ｎ２^(-n+1)（ｎ−１）！Ｆn-1(θ)
すなわち，上界は
（ｐ，３，・・・，３），θ＝π／ｐ
なる三角形面正多面体（単体的正多面体：ｎ−１次元面が単体）の頂点に（ｎ−２）次元球を配置する問題となるのですが，ここで，球面上にＮ(φ)個の点を配置した場合，不等式
Ｎ(φ)≦σｓn／Σ
が成り立ちますから，最終的に
Ｎ(φ)≦２Ｆn-1(θ)／Ｆn(θ)
ｓｅｃ２θ＝ｓｅｃ２φ＋ｎ−２
を得ることができます．
kissing number（τn）に関しては，φ＝π／６の場合を考えればよいので， τn≦２Ｆn-1(1/2arcsecn)／Ｆn(1/2arcsecn)
となり，
ｎ＝２ → ２Ｆ1(π/6)／Ｆ2(π/6)＝６
ｎ＝３ → ２Ｆ2(1/2arcsecn3)／Ｆ3(1/2arcsecn3)＝6/(3-π/arcsec3)＝１３．３９・・・
ｎ＝４ → ２Ｆ3(1/2arcsecn4)／Ｆ4(1/2arcsecn4)＝5(1+1/(2-2π/arcsec4))＝２６．４４・・・
５次元以上では，数値積分によらなければなりませんが，
ｆn(x)＝Ｆn(1/2arcsecx)
と書くことにすると，
ｆ2(x)＝arcsecx/x
ｆn(x)＝1/π∫(n-1,x)ｆn-2(x-2)/x√(x^2-1)dx
＝ｆn(n)＋1/π∫(n,x)ｆn-2(x-2)/x√(x^2-1)dx
ｆn(x)＝ｆn-1(x)-1/3ｆn-3(x)+2/15ｆn-5(x)-17/315ｆn-7(x)+62/2835ｆn-9(x)-･･･(n:odd)
ｆn(x)＝1/3ｆn-2(x)-2/15ｆn-4(x)+17/315ｆn-6(x)-62/2835ｆn-8(x)+･･･(n:even)
リーチは台形則を用いて数値積分し，
２ｆn-1(n)／ｆn(n)
を求めました．その結果は
２ｆ3(4)／ｆ4(4)=22.44･･･
２ｆ4(5)／ｆ5(5)=48.70･･･
２ｆ5(6)／ｆ6(6)=85.81･･･
２ｆ6(7)／ｆ7(7)=146.57･･･
２ｆ7(8)／ｆ8(8)=244.62･･･
以下，(9)401,(10)648,(11)1035,(12)1637,･･･と続きます．
コクセターの方法は，現在知られている上界よりほんの少し大きい方に偏っていることがわかります．たとえば，コクセターは４次元におけるキッシング数の限界は２４〜２６，８次元ではＥ8格子から２４０〜２４４を提示しましたが，スローンとオドリツコは４次元における上限を２５に，ハーディンがそれを２４にまで下げました．８次元ではスローンとオドリツコは上限を２４０にまで減らしました．
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【３】最密球充填の問題
球の充填および接触数の問題は，ヒルベルトの第１８問題として取り上げられているものですが，１９９８年にトマス・ヘールズによって
「キャノンボール・パッキングよりも密度の高い３次元パッキングは存在しない」
ことが証明されました．へールズは３ＧＢのコンピュータプログラムにるよる証明を提示しました．
また，２４次元の最密球充填の問題は２００４年，コーンとクマールによって完全に解決されています．多くの場合，最密充填は整然とした格子によってもたらされるのですが，次元によっては最大接触数が一見ランダムな配置によって実現する場合もあるので問題は複雑なのです．ランダムな配置まで含めても，面心立方格子が３次元空間における最密充填構造だというケプラー予想は，４００年近く経ってやっと定理に昇格したことになります．
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