三角形の５心とは内心，傍心，重心，外心，垂心を指しますが，古代ギリシャ人は５心について知っていました．その１５００年後，フェルマー点が発見され，さらに１〜２世紀後に９点円の中心，その次がジェルゴンヌ点，１９世紀にはいるとナーゲル点やブロカール点などが発見されました．
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【１】フェルマー点
ユークリッドは三角形の中心と呼べる点を４つ（内心，重心，外心，垂心）知っていたらしいのですが，これ以外にも中心はいろいろあります．
微分積分の入門書に「平面上に３つの定点Ａ，Ｂ，Ｃがある．この平面上に点Ｐをとって，ＡＰ^2＋ＢＰ^2＋ＣＰ^2が最小になるようにせよ」という問題が偏導関数の応用例として載せられています．その点Ｐは重心です．３定点が４定点であっても，同じ議論になるのですが，距離の２乗の和に特に具体的な意味があるようには思えません．むしろ，２乗を取り去ったほうが問題としては自然です．
そこで，「Ａ，Ｂ，Ｃ３軒の家に電線をひきたい．電線の長さを最小にするにはどこの柱を立てればよいか」ではＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰを最小にする実用価値のある問題になります．
この問題は１７世紀のフランスの数学者フェルマーがイタリアの物理学者トリチェリ，数学者カヴァリエリに出題したものとして有名な問題で，求める点Ｐをフェルマー点といいます．点Ｐは三角形ＡＢＣの内部にありますが，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ＜１２０°のときには，３頂点に至る距離の和が最小となる点は３辺を等角１２０°に見込む点です．∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃのいずれかが≧１２０°のときには，それぞれ頂点Ａ，頂点Ｂ，頂点Ｃになります．
このフェルマー点は頂点と外正三角形の頂点を結ぶ直線の共点として得られます．すなわち，フェルマー点を見つけるには与えられた三角形の各辺の上に正三角形を立てて各頂点と結ぶと，これら３本の線は１点Ｆで交わり∠ＡＦＢ＝∠ＢＦＣ＝∠ＣＦＡが成り立ちます．また，フェルマー点は３つの正三角形の外接円の交点でもあります．
このような最短配線問題は最小木問題（問題の発案者シュタイナーに因んで最小シュタイナー木問題）と呼ばれていますが，ＶＬＳＩ回路を設計するときの最も基本的な技術となっています．
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【２】９点円の中心
外心と重心の中点はフォイエルバッハの９点円の中心であり，フォイエルバッハの９点円は各辺の中点，各頂点から対辺へ下ろした垂線の足，頂点と垂心の中点の９個の点を通る円となっています（１８２１年：ポンスレとブリアンション）．
このことから，オイラー線（１７６７年）は外心・重心・垂心・フォイエルバッハの９点円の中心を相互に結ぶ直線ということになりますし，フォイエルバッハの９点円の中心はオイラー線の中点で，その半径は外接円の半径の半分となります．
さらに，フォイエルバッハの９点円が三角形の内接円と傍接円の各々に接する，９点円には他にも多くの特別な点が含まれているなど，三角形のような簡単な図形が無数に未知の性質を有することはまことに不思議なことです．
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【３】ジェルゴンヌ点とナーゲル点
△ＡＢＣの内接円が３辺に接する点をＤ，Ｅ，Ｆとすると，チェバの定理により，それと向かい合う頂点とを結ぶ３本の直線ＡＤ，ＢＥ，ＣＦは１点で交わります．この点をジェルゴンヌ点といいます．
また，△ＡＢＣの傍接円が３辺に接する点をＸ，Ｙ，Ｚとすると，３直線ＡＸ，ＢＹ，ＣＺは１点で交わります．この点がナーゲル点です．
三角形ＡＢＣ内の点Ｐに対し，ＡＰ，ＢＰ，ＣＰの延長が対辺と交わる点をＸ，Ｙ，Ｚとします．このとき各辺の中点に関するＸ，Ｙ，Ｚの対称点をＸ’，Ｙ’，Ｚ’とすると，チェバの定理により３直線ＡＸ’，ＢＹ’，ＣＺ’は１点Ｑで交わります．このようにしてできる２点Ｐ，Ｑを互いに他の等長共役点と呼びます．ジェルゴンヌ点とナーゲル点は典型的な等長共役点の例ですし，重心は自己等長共役点です．
三角形の中心点を通る直線や円を介して，中心点同士の間には驚異的な関連性があり，そして中心点の位置を相互に入れ替えるような変換（共役関係）があったのです．
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【４】雑感
ユークリッドは３つの角を２等分することで内心を見つけたのですが，モーリーは３つの角を３等分するとどうなるかを問題にして，モーリーの定理「任意の三角形において，各内角の３等分線の隣同士の交点を結んで得られる三角形は正三角形である」を発見しました（１８９９年）．
この驚くべき基本的な定理が２０００年という長い間，２０世紀直前にいたるまで発見されなかった理由は角の３等分問題は解けないことが判明していたところにあるのでしょう．その後，次々とモーリーの定理の証明が発表され，ロジャー・ペンローズやジョン・コンウェイのものを含めその数は１５０にもおよび，いまでも増え続けているそうです．三角形の幾何学は永遠に不滅なのです．
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