一般に，ｎ次元空間充填では各頂点の周りに少なくともｎ＋１個の多面体が集まる（ルベーグの舗石定理）．ｎ＋１個のとき，ｎ次元平行多面体の面数は最大２（２^n−１）個となる（ミンコフスキーの定理）．すなわち，２次元平行多辺形は最大６辺，３次元平行多面体の面数は最大１４面，４次元平行多胞体の胞数は最大３０胞となる．

　４次元の場合，胞数が最大の３０であるものが３つ

　　　Ｐ30＝１０Ｐ14＋２０Ｐ8　　（原始的）

　　　Ｐ30＝４Ｐ14＋６Ｐ12＋１２Ｐ10＋２Ｐ8＋６Ｐ6

　　　Ｐ30＝１８Ｐ12＋６Ｐ8＋６Ｐ6

あるが，原始的４次元３０胞体：Ｐ30＝１０Ｐ14＋２０Ｐ8は３次元の六角柱Ｐ8と切頂八面体Ｐ14を組み合わせた３０胞体で，４次元空間の１種類だけの多胞体による空間充填図形である．すなわち，５組（１０個）の切頂八面体(466)と１０組（２０個）の六角柱(644)からなる３０胞体は切頂八面体（ケルビンの立体）の４次元版で，各頂点の周りに５個ずつ集まる．１つの頂点の周りに集まる胞数は(466)×２，(644)×２，Ｖ＝１２０，Ｅ＝２４０，Ｆ＝１５０，Ｃ＝３０となる．

　中川宏さんは，以前，４次元正１２０胞体（超１２面体）の３次元への投影である木工胞心模型を作られたことがある．木工であるから折り紙で作る場合とは違って高い精度の要る仕事であろうが，素晴らしい出来映えにびっくりさせられたことが思い出される．

　今回のコラムでは石井源久先生と中川さんのコラボレートによる原始的４次元３０胞体模型を紹介したい．

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【１】原始的４次元３０胞体胞心模型の３次元投影

　原始的３０胞体を言葉で説明するのは易しいが，とはいっても３次元空間ではその姿を見ることはできないし，これを理解するのがいかに難しいかわかるだろう．端的にいって，人間の直観や勘が働くのはたがだか３次元空間までで，次元が大きくなるに従い，配位は非常に複雑となり，われわれが３次元空間でイメージするものとは大きく異なってくる．すなわち，高次元では幾何学的直観が効かないので，多胞体は理解するのが難しい対象ということなのである．

　原始的４次元３０胞体を３次元空間内に直投影するには点（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）から点（ａ，ｂ，ｃ）だけを取り出すことになるが，そうすると３次元空間内に多面体を外殻として内部にも稜をもった立体模型として写し取られる．その際，中心には面，稜，頂点を置くこともできるのだが，ここで考えるのは面心図，線心図，点心図ではなく胞心図である．そこで，石井源久先生にお願いして，胞心模型を描いていただいた．

［１］表＋裏

［２］表側

　中心となる切頂八面体の正六角形面のうち４面に縦方向に扁平な正六角柱を貼りつけ，できたくぼみに縦方向に扁平な正六角柱を繋げるように横方向に扁平な不等辺六角柱を６個入れる．さらにそのくぼみにつぶれた切頂八面体を４個を置く．これらは隙間なく密集し，中心部分にあるものほど大きく実形に近いし，外殻に近づくほど扁平になる．

　石井先生によると，４次元３０胞体を３次元空間に投影した場合，３次元空間内での長さの比は１：√３／２√２＝１：0.612372になるという．

　できあがった原始的４次元３０胞体の３次元投影図を見ると，そこには３０個ではなく１５個のピース（切頂八面体１，縦方向に扁平な正六角柱４，横方向に扁平な不等辺六角柱６，つぶれた切頂八面体６）があるだけである．しかし，これは透視図ではなく直投影での話であるから，投影に際して裏側半分は重なり合って見えないのである（表１５＋裏１５＝３０胞体）．

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【２】原始的４次元３０胞体胞心模型の計量

　もとの立方体の１辺の長さを２，切頂される頂点から辺までの切削距離をｄとおきます．

　　ｄ＝３／２

のとき，切頂八面体ができあがります．

　また，正方形面の対角線の長さの半分をｒとすると，

　　ｒ＝２−ｄ

六角形面の中心の座標：（１−ｄ／３，１−ｄ／３，１−ｄ／３）

原点から正方形面までの距離：Ｈ4＝１

原点から六角形面までの距離：Ｈ6＝√３（１−ｄ／３）

になります．

　切頂八面体の辺の長さは√２／２，扁平な多面体の１辺の長さは

　　√２／２

　　√２／２・√３／２√２＝√３／４

　切頂八面体の［１，１，１］方向を向く面の頂点の空間座標は［０，１／２，１］の巡回置換で与えられますから，そこに縦方向に扁平な正六角柱を貼りつけると，頂点の空間座標は

　　［０，１／２，１］の巡回置換＋√３／４・１／√３［１，１，１］

　　＝［１／４，３／４，５／４］の巡回置換

となります．

　同様に［−１，−１，１］，［−１，１，−１］，［１，−１，−１］方向の正六角形面にも縦方向に扁平な正六角柱を貼りつけます．

　このようにして空間座標を求めると，

(1)横方向に扁平な不等辺六角柱の二面角は１４４．７３６°，厚さは１／２

(2)つぶれた切頂八面体の厚さは√３／４

　　　正六角形−不等辺六角形面間の二面角は１４４．７３６°

　　　正六角形−長方形面間の二面角は１６０．５２９°

　　　不等辺六角形−長方形面間の二面角は１５０°

などと計算することができます．

　４つのピースはそれぞれ単独で３次元空間を充填することができます．

　中川宏さんによる原始的４次元３０胞体模型を以下に掲げます．この模型の外形は切頂八面体のすべての辺を面取りした形で，切頂八面体の面数１４＋辺数３６で合計５０面からなる多面体となります（正六角形面８，正方形面６，長六角形面１２，長方形面２４）．

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【３】３次元空間内に投影された４次元空間充填図形

　切頂八面体１，縦方向に扁平な正六角柱３，横方向に扁平な不等辺六角柱３，つぶれた切頂八面体１の比率で組み合わせると，無限に３次元空間を埋め尽くすことができます．

　なお，切頂八面体の正六角形面に縦方向に扁平な正六角柱を貼りつけたものはゼオライト（沸石）の多孔質の構成単位になっています．

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【４】雑感

　私の勤務するところは地方の小さな研究所ですが，大学であれ研究所であれ，与えられたテーマをこなすことは上手でも，常にテーマ（疑問点）を自ら作り続けるという意味でサイエンティストと呼べる人は少ないと思われます．先に進むためには常にテーマ（疑問点）を作り続けるが大事のようで，中川宏さんにはサイエンティストとしての資質が十分備わっていると感じられました．

　それとは裏腹に，私のように自分にとって面白いこと（価値を見いだしたもの）があるとどんどんそちらにのめりこんでしまうようなタイプの人間も研究所からはドロップアウトしてしまうのですが，難しい問題を考えることは喜びであり，知的冒険心を満足させてくれるのです．今後もその点を大事にしていきたいし，それがサイエンスの発展につながると考えています．

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