【４】９個の数の不思議な性質（類数１の世界）

　オイラーの２次多項式において，最初のｑ−１個がすべて素数となるような素数ｑ（＞４１）は存在するのでしょうか．もし存在するならば，そのようなｑは無限にあるのでしょうか．あるいは，有限個ならば最大のｑはいくつになるのでしょうか．

　１９６６年，ベイカーとスタークは独立に類数１の虚２次体Ｑ（√ｄ）すなわち（ｄ＜０，ｄは平方因子をもたない）なる２次体をすべて決定したのですが，それによると，

　　−ｄ＝１，２，５，７，１１，１９，４３，６７，１６３

したがって，虚２次体Ｑ（√１−４ｑ）が類数１をもつのは，

　　４ｑ−１＝７，１１，１９，４３，６７，１６３

すなわち，

　　「ｑが素数で，２，３，５，１１，１７，４１に限る．」

というものです．

　もし，そのような素数が無限に多く存在すれば，任意の長さの素数列を生成することができるのですが，ベイカー・スタークの定理はこれが成立しないことを示していて，

　　ｆq（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋４１

が最も長く連続した整数点において素数値をとる多項式であるというわけです．

　なお，１９５２年，ヘーグナーは１世紀以上も未解決だったガウスによる予想を証明しているのですが，その証明を標準的な手法で書かなかったため，長らく間違ったものとみなされていました．ところが，１９６６年，ベーカーとスタークがこの問題を解いたのを契機に，ヘーグナーの証明がはじめて注意深く吟味され，その証明が本質的には正しいことが明らかになりました．これでヘーグナーに対する批評が公正でないことが明らかになったのですが，残念ながら，ヘーグナーは１９６５年に亡くなっており，自らの名誉回復をその目で見ることはできませんでした．現在，９個の数

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

はヘーグナー数と呼ばれています．

　この９個の数

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

はとても面白いもうひとつの性質をもっています．それは

　　ｘ＝ｅｘｐ（π√ｄ）

が数値的にとても整数に近くなりうるというものです．

　　ｅｘｐ（π√４３）＝884736743.999777･･･

　　ｅｘｐ（π√６７）＝147197952743.99999866･･･

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝262537412640768743.99999999999925007･･･

　これは決して偶然の一致ではありません．ｘに対しては

　　ｘ−７４４＋１９６８８４／ｘ−２１４９３７６０／ｘ^2＋・・・

がぴったり整数になることがわかっています．これらの係数は重さ０のモジュラー関数においてｑ→−１／ｘとしたものです．

　ｘが大きいほど後半の項は小さな値となるので，ｘ自身は極めて整数（実は立方数）に近い数になるというわけです．

　　ｅｘｐ（π√４３）＝９６０^3＋７４４−ε

　　ｅｘｐ（π√６７）＝５２８０^3＋７４４−ε

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝６４０３２０^3＋７４４−ε

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