コラム「シンク関数の数学的諸性質（その５）」ではシンク関数の積分不等式
1/π∫(0,∞)｜sin(x)/x｜^kdx≦１／√（２ｋ） （等号はｋ＝２のときに限る）
を検証した．
ところで，積分不等式というとシュワルツの不等式などがあげられるが，ボールは関数を扱ったより一般的な不等式（Prekopa-Leindlerの不等式）を用いて，ブルン・ミンコフスキーの不等式の別の形を導いている．
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【１】シュワルツの不等式
［１］２乗可積分な関数ｆ，ｇに対して，以下の不等式が成立する．
（∫ｆ^2∫ｇ^2）^(1/2)≧∫ｆｇ
（証明）
∫（ｔｆ−ｇ）^2ｄｘ＝ｔ^2∫ｆ^2−２ｔ∫ｆｇ＋∫ｇ^2≧０
したがって，ｔを変数とする２次式の判別式
Ｄ＝（∫ｆｇ）^2−（∫ｆ^2∫ｇ^2）≦０
等号はｇ＝ｃｆ （ｃ：定数）のとき
［２］Δをｍ次対称行列，行列の固有値をλ1，・・・，λmとする．ｆ，ｇを２乗可積分な関数とすると，
｜∫（Δｆ，ｇ）｜＝｜∫（ｆ，Δｇ）｜≦ｍａｘ｜λi｜（∫ｆ^2∫ｇ^2）^(1/2)
｜∫（Δｆ，ｇ）｜＝｜∫（ｆ，Δｇ）｜≦ｍａｘ｜Δij｜（∫ｆ^2∫ｇ^2）^(1/2)
（証明）
正の対称行列は適当な座標の回転（ユニタリ変換）により，対角行列（対角要素以外はすべて０の行列）で表現可能である．このとき，
〈ｆ，ｇ〉：＝（Δｆ，ｇ）＝（ｆ，Δｇ）＝ΣΔijｆiｇj
の値は不変であるから，変換後の座標で計算すると
｜（Δｆ，ｇ）｜＝｜（ｆ，Δｇ）｜≦Σ｜λi｜｜ｆ｜｜ｇ｜
｜λi｜≦ｍａｘ｜λi｜を適用すると，［１］より
∫｜（Δｆ，ｇ）｜＝∫｜（ｆ，Δｇ）｜≦ｍａｘ｜λi｜（∫ｆ^2∫ｇ^2）^(1/2)
が成り立つ．
また，これにより
｜∫（Δｆ，ｇ）｜＝｜∫（ｆ，Δｇ）｜≦ｍａｘ｜Δij｜（∫ｆ^2∫ｇ^2）^(1/2)
は自明である．
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【２】ヘルダーの不等式
ｐ＞１，１／ｐ＋１／ｑ＝２のとき，以下の不等式が成立する．
（∫ｆ^p）^1/p（∫ｇ^q）^1/q≧∫ｆｇ
とくに，ｐ＋ｑ＝２とすれば，シュワルツの不等式となる．
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【３】ミンコフスキーの不等式
ｐ＞１のとき
（∫（ｆ＋ｇ）^p）^1/p≦（∫ｆ^p）^1/p＋（∫ｇ^p）^1/p
ｐ＜１のとき
（∫（ｆ＋ｇ）^p）^1/p≧（∫ｆ^p）^1/p＋（∫ｇ^p）^1/p
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【４】ヴィルティンガーの不等式
周期２π，平均が０の周期関数ｆに対して，以下の不等式が成立する．
∫(0,2π)ｆ’^2≧∫(0,2π)ｆ^2
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【５】ブルン・ミンコフスキーの不等式
一般のｎ次元図形に対してもミンコフスキー和の不等式
｜Ａ＋Ｂ｜^1/n≧｜Ａ｜^1/n＋｜Ｂ｜^1/n
が成立する（平面図形の場合はｎ＝２）．等号成立はＡとＢは相似の位置にあるか，またはＡはＢの平行移動であるときである．
また，２つの凸図形Ｋ0，Ｋ1が与えられたとき，Ｋ0からＫ1への連続変形
Ｋt＝（１−ｔ）Ｋ0＋ｔＫ1 （０≦ｔ≦１）
においては
｜Ｋt｜^1/n≧（１−ｔ）｜Ｋ0｜^1/n＋ｔ｜Ｋ1｜^1/n
が成り立つ．
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【６】Prekopa-Leindlerの不等式
ｆ，ｇ，ｈが非負な可測な関数で，すべてのｘ，ｙに対して
ｈ（（１−ｔ）ｘ＋ｔｙ）≧ｆ（ｘ）^1-tｇ（ｙ）^t （０≦ｔ≦１）
を満たすとき，
∫ｈ≧（∫ｆ）^1-t（∫ｇ）^t
が成り立つ．
ｆ，ｇ，ｈをそれぞれＡ，Ｂ，（１−ｔ）Ａ＋ｔＢの特性関数とすると
∫ｈ≧（１−ｔ）（∫ｆ）＋ｔ（∫ｇ）≧（∫ｆ）^1-t（∫ｇ）^t
から
ｖｏｌ（（１−ｔ）Ａ＋ｔＢ）＝ｖｏｌ（Ａ）^1-t×ｖｏｌ（Ｂ）^t
が得られる．
これはブルン・ミンコフスキーの不等式
｜Ｋt｜^1/n≧（１−ｔ）｜Ｋ0｜^1/n＋ｔ｜Ｋ1｜^1/n
の別の形（dimension free form of Brunn-Minkowski）である．Prekopa-Leindlerの不等式の利点は次元が出てこないことであるが，ボールの不等式のいいところも次元によらず評価されていることにある．
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【７】ガウス測度の集中
格子上のランダムウォークについて
(1)ｎステップの後の１次元酔歩が原点からの距離が√ｎのオーダーであること
(2)ｎステップの後のｄ次元酔歩も原点からの距離が√ｎのオーダーであること
が示されましたが，これは拡散現象では一般的にいえることであることがわかります．
格子上のランダムウォークは，ブラウン運動などの拡散モデルとしてよく知られていますが，格子のモデルはブラウン運動の離散化とみなすことができるので，局所的にみると離散的過程であっても，大域的にみると連続空間に分布した連続的なｎ次元ガウス分布とみることができます．
ｎ次元ガウス分布にしたがってランダムに選んだ点の原点からの距離は期待値√ｎの周りに鋭く集中していますから，半径√ｎの球面Ｓn-1上の一様分布からランダムに点を選ぶことに類似しています．球面Ｓn-1の半分以上を占める任意の部分集合Ａ，すなわち，
Ｐ（Ａ）≧１／２
に対してＡ周りの測度集中を考えます．ＡtをＡへのユークリッド距離がｔ以下の点ｘ（＜Ｓn-1）の集合とするとき，Ａtである確率については
Ｐ（Ａ）≧１／２
Ｐ（Ａt）≧１−ｅｘｐ（ｰt^2/2）
が成り立つことが知られています．
この不等式には次元ｎが現れないのですが，それは半径√ｎの球面Ｓn-1に対する状況と非常によく似ていることから理解されます．
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