平面図形の等周不等式はＬ^2≧４πＡ，空間図形の等周不等式はＳ^2≧３６πＶ^2で与えられる．今回のコラムでは等周不等式と（不等式ではないが）幾何学における２つの定理を紹介しよう．
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【１】等周不等式
任意のｎ次元の等周不等式は，
Ｓ^n／Ｖ^(n-1)≧ｎ^nｖn （ｖnはｎ次元単位球の体積）
＝ｎ^nπ^(n/2)/Γ(n/2+1)＝Ｃn
で表されます．
ｎ次元等周比（Ｃn）において，とくに，ｎ＝２のときとｎ＝３のときについては，
Ｃ2＝４π，Ｃ3＝３６π
すなわち，
Ｌ^2≧４πＳ
Ｓ^3≧３６πＶ^2
がわかります．以下，
Ｃ4＝2^7π^2，Ｃ5＝8/3*5^4π^2，Ｃ6＝6^5π^3，・・・
となりますが，等周比が有理数（整数）×πの形となるのは，２次元・３次元だけのようです．
また，凸体Ｖを囲む曲面Ｓにおいて，平均曲率は，
Ｈ＝１／２（１／Ｒ1＋１／Ｒ2）
で定義されます．ここで，平均曲率の積分を
Ｍ＝∫Ｈｄｓ
で表すと，ミンコフスキーの不等式
Ｓ^2−３ＶＭ≧０
Ｍ^2−４πＳ≧０
これから直ちに
Ｓ^3≧３６πＶ^2
が導かれます．
ともあれ，３次元凸集合に対し，表面積をＳ，体積をＶとすると，
Ｓ^3≧３６πＶ^2
が成り立ちます．等号成立は球のときだけで，すべての立体中で球が表面積に対して最大の体積をもっています．
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【２】パップス・ギュルダンの定理
半径ａと半径ｂ（ｂ＜ａ）の同心円に挟まれた円環状部分の面積は
πａ^2−πｂ^2
で与えられるが，この図形は２次元の円に幅をもたせたものと考えることができる．
そこで，帯の幅（ａ−ｂ）に重心（原点からの距離：（ａ＋ｂ）／２）が描く円周長２π（ａ＋ｂ）／２を乗ずると
円周長×幅＝２π（ａ＋ｂ）／２×（ａ−ｂ）＝πａ^2−πｂ^2
となって同じ値が得られる．
円を円と交わらない軸を中心にして３次元空間内で回転させるとトーラス（円環面）が得られる． 半径ｂの円を３次元空間内で半径ａで回転させたトーラスの場合，
表面積＝円周長２πｂ×円周長２πａ＝４π^2ａｂ
体積＝断面積πｂ^2×円周長２πａ＝２π^2ａｂ^2
で表すことができる．すなわち，体積・表面積とも太さと長さの積で表せるというわけである．
円周率が２つ入っているが，この意味はトーラス面は環状に並べられた円であることにほかならない．トーラスの体積・表面積の解答を自力で見つけて感動を覚え，それが次の興味に繋がったという経験をお持ちの読者も少なくないだろう．トーラスを同心円の積層であることを自力でみつける姿勢は必要であろうし，わかるということの喜びを体験することができるのである．
（第１定理）回転体の体積は元になる図形の面積とその図形の重心が移動した距離の積になる．
（第２定理）表面積は図形の周となっている曲線の重心の移動距離とその図形の周長との積になる．
これらは円だけでなくあらゆる回転体について成り立つ回転体の体積と表面積に関する定理であり，４世紀前半に精力的に活動した数学者パップスにちなんで「パップスの定理」と呼ばれている．
（Ｑ１）三角形の重心は底辺から高さの１／３のところにあるが，それでは半円の重心はどこにあるのだろうか？
（Ａ１）パップスの第１定理を逆に使って求めてみよう．直径を軸として半円を回転させると球になる．アルキメデスによれば球の体積は
４／３πｒ^3
一方，パップスによればこの体積は半円の面積１／２πｒ^2と半円が回転したときの重心の移動距離２πｄの積に等しい（重心と円の中心との距離をｄとする）．したがって，
ｄ＝４ｒ／３π＝０．４２ｒ
（Ｑ２）半径ｒの半円形をした針金の重心は？
（Ａ２）パップスの第２定理より，重心の移動距離２πｄと半円の長さπｒの積は球の表面積４πｒ^2は等しくなる．したがって
ｄ＝２ｒ／π＝０．６４ｒ
これらの問題は積分を使っても解くことができるが，それよりもパップスの定理を使った方が簡単であろう．また，パップスの定理は円が曲線に沿って移動するような軌跡問題などにも応用することができる．
［補］この回転体の体積や表面積についての定理は古代ギリシアの数学者パップス（４世紀前半）が言及し，後になってスイスの数学者ギュルダンによって証明が試みられました．そのため今日ではパップス・ギュルダンの定理と呼ばれています．
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【３】ホテリング・ワイルの定理（管状近傍定理）
パップス・ギュルダンの定理は一般のｎ＋１次元空間内の曲線ついても成立する．すなわち，半径ｒのｎ次元円板を考えることによって，
管状ｒ近傍の体積＝半径ｒのｎ次元円板の体積×曲線の長さ
一般に，Ｓをｎ次元空間におけるｊ次元単体とすると，Ｓの直交ｒ近傍Ｓrは，Ｓと半径ｒのｎ−ｒ次球の直積としても書くことができる．
ｖｏｌn（Ｓr）＝ｖｏｌj（Ｓ）ｒ^n-j×ｖｏｌn-j（Ｂn-j）
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