■ルート系の分類定理(その5)

[2]分岐点を含み,−のみからなるのは,Dk(k≧4),E6,E7,E8だけである.

            φ

  ・−・−・・・−・−・−・−・・・−・−・

  ε1 ε2    εp-1 | ηq-1    η2 η1

            ・ζr-1

            |

            ・

            ・

            |

            ・ζ1

  1/p+1/q+1/r>1

  p≧q≧r≧2

とすれば,

  r=2

  q=2,pは無条件→Dk(k≧4)

  q=3,p=3,4,5→E6,E7,E8

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[1]1/p+1/q+1/r>1

[2]pqr<p+q+r+2  (次元数はn=p+q+r+1)

は異なるが,p≧q≧r≧2とすれば,

  r=2→2pq<p+q+2

  q=2→4p<p+4

  q=3→6p<p+4

となってしまう.

 そうではなくて,[2]の条件はp≧q≧r≧1なのであって,

[1]r=1,q=1→p<p+4→pは任意→Dk(k≧4)

[2]r=1,q=2→2p<p+5→p=2,3,4→E6,E7,E8

 したがって,どのルート系も,

  ・−・−・−・−・   ・−・−・−・−・−・−・

      |             |

      ・             ・

      |

      ・

  ・−・−・−・−・−・−・−・   ・−・=・−・−・

            |

            ・

を含むことはできないのである.

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