ｈγ2＝α1，ｈγ3＝α3，ｈγ4＝β4はよく知られている．

　Ｄnの対称性は半立方体（hemicube）と関係しているが，それに対して，Ｅnの対称性は正単体と正軸体と関係している．

　　Ｄ3＝Ａ3

　　Ｅ5＝Ｄ5，Ｅ4＝Ａ4，Ｅ3＝Ａ2×Ａ1

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【１】平面の合同変換

　平面の合同変換は３回以内の鏡映の合成として表すことができる．

［１］鏡映１回→鏡映（不動点は鏡映軸）

［２］鏡映２回→平行移動（不動点はなし）

［３］鏡映２回→回転（不動点は回転中心）

［４］鏡映３回→すべり鏡映（不動点はなし）

　こうして，辺の途中に他の多角形の頂点がきたりするが，畳の敷き方では（１点に４枚の畳が集まるよりも）その方が安定である．

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【２】空間の合同変換

　空間の合同変換は４回以内の鏡映の合成として表すことができる．

［１］鏡映１回→鏡映（不動点は鏡映面）

［２］鏡映２回→平行移動（不動点はなし）

［３］鏡映２回→回転（不動点は回転軸）

［４］鏡映３回→すべり鏡映（不動点はなし）

［５］鏡映３回→回転鏡映（不動点は中心点）

［６］鏡映４回→らせん運動（不動点はなし）

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