任意のｎ次元空間に４種類の結晶を構成できることがわかっている．それらの空間充填性はどのように保証されているのだろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］ミンコフスキー結晶

　次元をひとつあげて，ｎ＋１次元空間の第１象限の超平面Σｘ＝ｎ（ｎ＋１）／２上にミンコフスキー結晶を構成することができる．これが，超平面を平面充填できることを証明するのであるが，思ったよりも簡単に証明することができる．ｆベクトルの一般解は第２種スターリング数を用いて書き表すことができる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［２］ＢＣＣ結晶

　立方体を角砂糖状に並べる（格子充填）．その頂点を均等に正軸体をなすように削ってその隙間を正軸体で充填する．立方体→正軸体，正軸体→立方体の過程で，両者の形は一致することが中間値の定理より保証される．ｆベクトルの一般解は不明である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［３］ＦＣＣ結晶とＦＣＰ結晶

　ファセットが合同で，それらのなす角が１２０°であることから，直観的に空間充填形であることがわかるだろう．ｆベクトルの一般解は２項係数を用いて書き表すことができる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝