代数的ゼータ

　　L(s;Ｅ)=Π(1-c(p)p^(-s)+p^(1-2s))^(-1)＝Π（ｐに関する部分）

を定義します．

　ｐに関する部分はｐ^-s＝ｕとして，

　　1-c(p)p^(-s)+p^(1-2s)＝（１−αpｕ）（１−βpｕ）

　　αp＋βp＝ｃ（ｐ），αpβp＝ｐ

と因数分解できます．

　解の個数Ｎpについては，

　　ｐ＋１−２√ｐ＜Ｎp＜ｐ＋１＋２√ｐ

を満たすことが証明されています（ハッセの定理，１９３３年）．これは

　　｜αp｜＝｜βp｜＝√ｐ

と同値です．ｐが動くとき，αpとβpの絶対値は√ｐとあっさり決まりますが，偏角θpは素数ｐごとにふらふらと変動します．

　ハッセの不等式は，有限体上の曲線に対するリーマン予想とも呼ばれるものです．解の個数の平均はＮp＝ｐ＋１通り，また，誤差項Ｍpはｐに比べて小さく，｜Ｍp｜≦２√ｐで，Ｎpは各素数ｐごとにてんでんばらばらになっておらず，そこにはある秩序が存在しているというわけです．

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【１】整数点の分布と佐藤ｓｉｎ^2予想

　佐藤予想とは楕円曲線Ｃの位数の分布に関するもので，Ｃが虚数乗法をもたないとき，

　　ｃｏｓθp＝（Ｎp−ｐ−１）／２√ｐ＝Ｍp／２√ｐ

の偏角θpが，任意に固定された０≦ａ≦ｂ≦πに対して，［ａ，ｂ］となる素数密度：

　　＃｛ｐ≦ｘ；ａ＜θp＜ｂ｝／π（ｘ）　〜　2/π∫(a,b)sin^2θdθ

すなわち，その角分布はｓｉｎ^2θに比例するであろうというものです．

　佐藤予想には，多くの言い換えがあって，

(1)ｘ^2＋Ｍpｘ＋ｐ＝０

の解を

　　√ｐ（ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ）

とするとき，その角分布はｓｉｎ^2θに比例する

(2)Ｍp／２√ｐが√（１−ｘ^2）に比例する

(3)ハミルトンの４元数環（フルヴィッツの整数）：（ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ）／２の半径ｐの格子点３次元球面：ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2＝４ｐの一様分布の実軸方向への射影である

といっても同じことです．

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【２】テイラーの定理

　佐藤予想はリーマン予想に匹敵する予想であるといわれていました．ところが，驚いたことに２００６年になってハーバード大学のリチャード・テイラーによって佐藤予想の楕円曲線版（佐藤・テイト予想と呼ばれる）が証明されました．

　テイラーの定理：

　　「佐藤・テイト予想はＥのｊ不変量が整数でなければ正しい．」

　佐藤・テイト予想は定理になったというわけですが，佐藤予想そのものの証明ではないにせよ，１００年に一度の大発展といえるのです．

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【補】楕円曲線のｊ不変量

　ｙ^2＝ｘ^3＋Ｐｘ＋Ｑのｊ不変量は

　　ｊ＝２^8３^3Ｐ^3／（４Ｐ^3＋２７Ｑ^2）

で定義されます．

　ｙ^2＝ｘ^3＋Ｑ　→　ｊ＝０

　ｙ^2＝（ｘ−Ａ）（ｘ−Ｂ）（ｘ−Ｃ）　→　ｊ＝２^8（ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ−Ａ^2−Ｂ^2−Ｃ^2）／（Ａ−Ｂ）^2（Ｂ−Ｃ）^2（Ｃ−Ａ）^2

　ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−Ａ）　→　ｊ＝−２^8（Ａ（Ａ＋１）＋１）／Ａ^2（Ａ−１）^2

　ｙ^2−＝ｘ^3−ｘ^2 →（ｙ−１／２）^2＝ｘ^3−ｘ^2＋１／４→ｙ^2＝（ｘ−１／３）^3−１／３（ｘ−１／３）＋１９／１０８　→　ｊ＝−２^12／１１

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