カタラン立体はアルキメデス立体の双対（dual），相反（reciprocal）です．その一般的な構成法は，アルキメデス立体の各頂点において，外接球面に引いた接平面を作りその凸包をとります．アルキメデス立体は球に内接しますが，カタラン立体は球に外接するというわけです．しかし，その方法では接平面同士の交線を計算しなければならないので，高次元では結構厄介な計算となります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　久しぶりに

　　石井源久・山口哲「高次元図形サイエンス」，京都大学学術出版会

高次元図形サイエンスをながめていたところ，１７６〜１７７ページに４次元カタラン立体が掲載されているのをみつけた．

　（その１）では，アルキメデス立体の計量が与えられている場合のカタラン立体構成法を一般化した形で考えてみた．１７６〜１７７ページがどのようにして描かれたものなのかはわからないが，工夫すれば描けことは確実である．

　しかし，この本はあまり数学的に書かれていないのでどうも読みづらい．私が欲しい図形はその高次元版であるが，以下の方法で描画可能になるだろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　半径Ｒの球に内接するアルキメデス立体のファセットの中心をＸ（ｘ1，・・・，ｘn）とし，球面に対して反転させます．

　Ｙ（ｙ1，・・・，ｙn）はＯＸの延長線上にありますから

　　Ｙ（ｙ1，・・・，ｙn）＝（ｋｘ1，・・・，ｋｘn）

　ＯＸの延長と球面の交点（ｍｘ1，・・・，ｍｘn）は

　　ｍ^2（ｘ1^2＋・・・＋ｘn^2）＝Ｒ^2

　　（ｘ1^2＋・・・＋ｘn^2）^1/2・ｋ（ｘ1^2＋・・・＋ｘn^2）^1/2＝Ｒ^2

　　ｋ・Ｒ^2／ｍ^2＝Ｒ^2，ｋ＝ｍ^2

　　ｙ1＝ｍ^2ｘ1，・・・，ｙn＝ｍ^2ｘn

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝