（その２）では楕円曲線ｙ^2＝ｘ^3−ｘ （ｍｏｄ ｐ）の整数点の個数をＮpとすると，重さ２の保型関数のｑ展開
F(z)=qΠ(1-q^4n)^2(1-q^8n)^2=q-2q^5-3q^9+6q^13+2q^17-q^25-10q^29+･･･=c(n)q^n,q=exp(2πiz)
がＮp＋c(p)＝ｐという関係をもつことをみた．まずはおさらいから・・・
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【１】ｙ^2＝ｘ^3−ｘ on Ｆp
有限体
Ｆp＝｛０，１，，・・・，ｐ−２，ｐ−１｝
を考え，楕円曲線
ｙ^2＝ｘ^3−ｘ＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ−１）
に限定して，
ｙ^2＝ｘ^3−ｘ （ｍｏｄ ｐ）
を満たす整数点（ｘ，ｙ）を探し出したが，Ｆpでの整数点の個数をＮpとすると
ｐ ２ ３ ５ ７ １１ １３ １７ １９ ２３
Ｎp ２ ３ ７ ７ １１ ７ １５ １９ ２３
となった．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
デデキントのイータ関数，
η(z)=q^(1/24)Π(1-q^n),q=exp(2πiz)
において，q=exp(2πiz)とおいて，関数
F(z)=η(8z)^2η(16z)^2
=qΠ(1-q^4n)^2(1-q^8n)^2=q-2q^5-3q^9+6q^13+2q^17-q^25-10q^29+･･･
=c(n)q^n,q=exp(2πiz)
を考えます．c(n)はF(z)のフーリエ係数です．
ｎ １ ５ ９ １３ １７ ２５ ２９
c(n) １ −２ −３ ６ ２ −１ −１０
F(z)は，モジュラー
ad-bc=1,c=0(mod 32，すなわち３２の倍数)
なる任意の整数a,b,c,dに対して
F(az+b/cz+d)=(cz+d)^2F(z)
を満たします．このとき，F(z)は重さ２の保型形式をもつといいます．とくに，
a=1,b=1,c=0,d=1
のとき，F(z+1)=F(z)となって，実軸方向に周期１の関数になっていることがわかります．
素数だけに注目して，Ｎpとc(p)をひとつの表にすれば
ｐ ２ ３ ５ ７ １１ １３ １７ １９ ２３
Ｎp ２ ３ ７ ７ １１ ７ １５ １９ ２３
c(p) ０ ０ −２ ０ ０ ６ ２ ０ ０
すなわち，
Ｎp＋c(p)＝ｐ
という関係があることがわかります．Ｎｐは楕円曲線からの数列，c(p)は保型形式からの数列というまったく違った由来をもっているのに深いところで関連があるというわけです．このような対応がすべての楕円曲線について存在するというのが谷山予想（谷山・志村・ヴェイユ予想）です．
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【２】ｙ^2±ｙ＝ｘ^3−ｘ^2 on Ｆp
（その３）に掲げたｙ^2±ｙ＝ｘ^3−ｘ^2 はｙ^2＝（ｘの３次式）の形ではないが，
（ｙ±１／２）^2＝ｘ^3−ｘ^2＋１／４
と書き換えられるので，楕円曲線である．
ｙ^2±ｙ＝ｘ^3−ｘ^2のＦpでの整数点の個数Ｎpは，
ｐ ２ ３ ５ ７ １１ １３ １７ １９ ２３
Ｎp ４ ４ ４ ９ １０ ９ １９ １９ ２４
F(z)=η(z)^2η(11z)^2
=qΠ(1-q^n)^2(1-q^11n)^2=q-2q^2-q^3+2q^4+q^5+2q^6-2q^7+･･･
=c(n)q^n,q=exp(2πiz)
を考える．c(n)はF(z)のフーリエ係数である．
F(z)は，
ad-bc=1,c=0(mod 11すなわち１１の倍数)
なる任意の整数a,b,c,dに対して
F(az+b/cz+d)=(cz+d)^2F(z)
を満たすから，F(z)は重さ２の保型関数である．
素数だけに注目して，Ｎpとc(p)をひとつの表にすれば
ｐ ２ ３ ５ ７ １１ １３ １７ １９ ２３
Ｎp ４ ４ ４ ９ １０ ９ １９ １９ ２４
c(p)−２ −１ １ −２ １ ４ −２ ０ −１であるから，Ｎp＋c(p)＝ｐという関係が成り立つことが確かめられる．
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【３】ｙ^2＝ｘ^3＋１ on Ｆp
F(z)=η(6z)^4=qΠ(1-q^6n)^4=q-4q^7+2q^13+8q^19-5q^2-4q^31･･･
=c(n)q^n,q=exp(2πiz)
を考える．c(n)はF(z)のフーリエ係数である．
F(z)は，
ad-bc=1,c=0(mod 36すなわち３６の倍数)
なる任意の整数a,b,c,dに対して
F(az+b/cz+d)=(cz+d)^2F(z)
を満たすから，F(z)は重さ２の保型関数である．
素数だけに注目して，Ｎpとc(p)をひとつの表にすれば
ｐ ２ ３ ５ ７ １１ １３ １７ １９ ２３
Ｎp ２ ３ ５ １１ １１ １１ １７ １１ ２３
c(p) ０ ０ ０ −４ ０ ２ ０ ８ ０
であるから，Ｎp＋c(p)＝ｐという関係が成り立つことが確かめられる．
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【４】２種類のゼータ関数の一致
こみいった話になるのですが，F(z)のフーリエ係数c(n)を使って，ディリクレ級数
φ(s)=Σc(n)/n^s
を定義します．ディリクレ級数はリーマンのゼータ関数
ζ(s)=Σ1/n^s
を一般化したものです．そして，楕円曲線Ｅに対してよい還元になる素数を使って，代数的ゼータ
L(s;Ｅ)=Π(1-c(p)p^(-s)+p^(1-2s))^(-1)＝Π（ｐに関する部分）
を定義します．
Ｆpにおいて，楕円曲線が３重根をもつとき（ｐに関する部分）＝１（０次），２重根をもつとき（ｐに関する部分）＝１−１／ｐ^s（１次），重根をもたないとき（ｐに関する部分）＝1-c(p)p^(-s)+p^(1-2s)（２次）になる．よい還元になる素数とは３つの可能性のうち最後のものを指します．
一方，解析的ゼータを
L(s;Ｆ)=Σc(n)/n^s=Σc(n)q^n
で定義します．このとき，すべての素数に対して「解析的ゼータ＝代数的ゼータ」が成り立つというのが谷山予想（谷山・志村・ヴェイユ予想）です．
ワイルスは１９９４年に谷山予想の大部分を証明し，その副産物としてフェルマーの最終定理を証明しました．谷山予想は２００１年，ワイルスの方法を改良することで，ブルイエル，コンラッド，ダイヤモンド，テイラーにより証明されました．
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