【１】円石藻と等脚台形

　まず，正五角形の円石（coccolith，炭酸カルシウム）が正１２面体のcoccosphereを形成する円石藻の写真を掲げる．

　正五角形を同じ形のピースで５分割する方法は無数にあるが，円石藻の正五角形は二等辺三角形でも凧型でもなく，等脚台形で分割されているように見えないだろうか．

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　正五角形の中心と頂点を結べば二等辺三角形（頂角７２°，底角５４°），正五角形の中心から各辺に垂線を下ろせば凧型（頂角７２°，１０８°，９０°，９０°）ができる．

　もう一つの意外な方法は，正五角形の中心から各辺に平行な直線を引けば，左右対称な等脚台形（頂角７２°，７２°，１０８°，１０８°）ができる．さらに下底の長さを等脚に等しく１にとれば，上底の長さは２−φとなる．

　この等脚台形は５枚で正五角形ができるが，＋１５枚して２０枚で一回り大きな正五角形，＋２５枚して４５枚で二回り大きい正五角形を作ることができる．＋３５枚して８０枚で・・・

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【２】ペンローズの凧と矢

　また，この等脚台形を２枚重ねると，重なった部分はペンローズの凧になる．ペンローズの凧と矢の２つのタイルは，その内角が

　　凧：７２°，７２°，７２°，１４４°

　　矢：３６°，３６°，７２°，２１６°

で，特定のルールを守ってでピースをつないでいけば，非周期的に平面充填する．このルールに則らなけれ，周期的にタイル貼りできる．

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［まとめ］

　特定のルールを守ってピースを繋いでいけば非周期的に平面をタイル貼りすることができる（もし拘束がなければ周期的にタイル貼りすることができることに注意）．凧と矢は矢の方が多くて黄金比に近づいていく．両者の面積比も黄金比である．

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