１＋２＋３＋・・・＋１００＝５０５０

　それでは，次のフィボナッチ級数は？

　　１＋１＋２＋３＋５＋８＋１３＋２１＝？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】フィボナッチ級数

　フィボナッチ数列の各項はパスカルの三角形の対角線上の数の和に一致しています．この他にもフィボナッチ数は多くの性質をもっていて，以下にいくつか紹介しておきます．

Ｆn ・Ｆn+2 ＝Ｆn+1^2−（−１）^n

Ｆ1 ＋Ｆ2 ＋Ｆ3 ＋・・・＋Ｆn ＝Ｆn+2 −１

Ｆ1 ＋Ｆ3 ＋Ｆ5 ＋・・・＋Ｆ2n-1＝Ｆ2n

Ｆ2 ＋Ｆ4 ＋Ｆ6 ＋・・・＋Ｆ2n＝Ｆ2n+1−１

Ｆ1^2＋Ｆ2^2＋Ｆ3^2＋・・・＋Ｆn^2＝Ｆn ・Ｆn+1

　　１＋１＋２＋３＋５＋８＋１３＋２１

＝Ｆ1＋Ｆ2＋Ｆ3＋Ｆ4＋Ｆ5＋Ｆ6＋Ｆ7＋Ｆ8＝Ｆ10−１＝５５−１＝５４

　もし，Ｆ10＝５５を知っていれば，即座に５４と答えられるというわけです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】フィボナッチ数の母関数

　フィボナッチ数列の生成規則は，Ｆn ＝Ｆn-1 ＋Ｆn-2 ですが，別の方法によっても生成することができます．

　級数ｑ＋ｑ（ｑ＋ｑ^2）＋ｑ（ｑ＋ｑ^2）^2＋ｑ（ｑ＋ｑ^2）^3＋ｑ（ｑ＋ｑ^2）^4＋・・・

を考えると

＝ｑ＋ｑ^2＋２ｑ^3＋３ｑ^4＋５ｑ^5＋８ｑ^6＋１３ｑ^7＋・・・

＝ΣＦnｑ^n

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　これは

ｆ（ｘ）＝ｘ／（１−ｘ−ｘ^2）＝ΣＦnｘ^n

＝１＋ｘ＋２ｘ^2＋３ｘ^3＋５ｘ^4＋８ｘ^5＋１３ｘ^6＋・・・

において，

１／（１−ｘ−ｘ^2）＝１＋（ｘ＋ｘ^2）＋（ｘ＋ｘ^2）^2＋（ｘ＋ｘ^2）^3＋・・・

ｘ／（１−ｘ−ｘ^2）＝ｘ＋ｘ（ｘ＋ｘ^2）＋ｘ（ｘ＋ｘ^2）^2＋ｘ（ｘ＋ｘ^2）^3＋・・・

としたものであることは，すぐにおわかり頂けると思う．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［おまけ］

　フィボナッチ数は５次式

　　−ｙ^5＋２ｙ^4ｘ＋ｙ^3ｘ^2−２ｙ^2ｘ^3−ｙ（ｘ^4−２）

の正整数値であることが示されている．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝