どういう負の数−ｄを使った数体系Ｑ（√−ｄ）で，素因数分解は一意となるのでしょうか？

　この答えは既に知られていて，次の９つの虚２次体Ｑ（√ｄ）

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

に限られるというものです．このコラムをご覧の読者であれば，最初の２つ以外では半整数ａ，ｂを使って，ａ＋ｂ√−ｄを作る必要があることはおわかりでしょう（＝１（ｍｏｄ４））．

　解説によっては，一意分解性をもつ虚２次体は９個のみで，その判別式は

　　Ｄ＝３，４，７，８，１１，１９，４３，６７，１６３

に限られるとも説明されています．その場合，アイゼンスタインの整数は判別式３，ガウスの整数は判別式４，クラインの整数は判別式７に相当します．

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［１］クラインの整数

　ベイカー・スタークの定理により，ガウス整数とアイゼンスタイン整数は一意分解性をもつことがわかりますが，それに続いて最も簡単な整数環は

　　λ＝（−１＋√−７）／２

　　ａ＋ｂλ

です．

　クライン整数は２つの単数±１のみをもち，菱形格子をなします．クライン環の特徴は，２が素因数分解されることです．

　　２＝（−１＋√−７）／２・（−１−√−７）／２

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