ｐを素数として，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2を満たす整数ｘ，ｙが存在するための必要十分条件は

　　ｐ＝１（ｍｏｄ４）またはｐ＝２

であることは有名です．

　それに較べてあまり知られていないのですが，ｐ＝ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2を満たす整数ｘ，ｙが存在するための必要十分条件は

　　ｐ＝１（ｍｏｄ３）またはｐ＝３

が成り立つことです．

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［１］３ｎ＋１型素数はａ^2−ａｂ＋ｂ^2の形に表されますが，３ｎ＋２型素数は表されません．

［２］７ｎ＋１型，７ｎ＋２型，７ｎ＋４型素数はａ^2−ａｂ＋２ｂ^2の形に表されますが，７ｎ＋３型，７ｎ＋５型，７ｎ＋６型素数は表されません．

［３］１１ｎ＋１，＋３，＋４，＋５，＋９型素数は

ａ^2−ａｂ＋３ｂ^2の形に表されますが，１１ｎ＋２，＋６＋，＋７，＋８，＋１０型型素数は表されません．

　この応用として

［４］ｙ^2＝ｘ^3−１１を満たす整数解は（ｘ，ｙ）＝（３，±４），（１５，±５８）だけである

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