ａn+1＝２ａn

という生成則に従う数列は，ベンフォードの法則（１ではじまる数が多いのはなぜか）に従いますが，

　　ａn+1＝２ａn＋１

　　ａn+1＝ａn^2

という生成則に従う数列もベンフォードの法則に従います．

　ところが，

　　ａn+1＝ａn^2＋１

という生成則に従う数列では，初期値によってベンフォードの法則に従わない数列があるそうです．

　たとえば，

　　ａ0＝９．９４９６２３０８９５９３９５９４１２１８３３２１２４１０９３２６・・・

では生成則を何回繰り返しても最初の数は９になるということです．驚きの結果です．このような初期値は無限個存在するのですが，数直線ではあまりにもまだらで，そのcardinalityは０だそうです．

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　一般に，

　　ａn+1＝ａn^2＋ｍ

という生成則に従う数列の最初の数がｋになるためには，

　　ｋ≦ａ0＜ｋ＋１

　　ｋ^2＋ｍ≦ａ0^2＋ｍ＜（ｋ＋１）^2＋ｍ

一方，

　　１０ｋ≦ａ0^2＋ｍ＜１０（ｋ＋１）

　これが常に

　　１０ｋ＞ｋ^2＋ｍ，（ｋ＋１）^2＋ｍ＞１０（ｋ＋１）

を満たすものとする．

［１］ｋ＝９のとき

　　９０＞８１＋ｍ，１００＋ｍ＞１００→ｍ＜９，ｍ＞０

［２］ｋ＝８のとき

　　８０＞６４＋ｍ，８１＋ｍ＞９０→ｍ＜１６，ｍ＞９

［３］ｋ＝７のとき

　　７０＞４９＋ｍ，６４＋ｍ＞８０→ｍ＜２１，ｍ＞１６

［４］ｋ＝６のとき

　　６０＞３６＋ｍ，４９＋ｍ＞７０→ｍ＜２４，ｍ＞２１

［５］ｋ＝５のとき

　　５０＞２５＋ｍ，３６＋ｍ＞６０→ｍ＜２５，ｍ＞２４

［６］ｋ＝４のとき

　　４０＞１６＋ｍ，２５＋ｍ＞５０→ｍ＜２４，ｍ＞２５　　（ＮＧ）

［７］ｋ＝３のとき

　　３０＞９＋ｍ，１６＋ｍ＞４０→ｍ＜２１，ｍ＞２４　　（ＮＧ）

［８］ｋ＝２のとき

　　２０＞４＋ｍ，９＋ｍ＞３０→ｍ＜１６，ｍ＞２１　　（ＮＧ）

［９］ｋ＝１のとき

　　１０＞１＋ｍ，４＋ｍ＞２０→ｍ＜９，ｍ＞１６　　（ＮＧ）

［１０］ｋ＝０のとき

　　０＞０＋ｍ，１＋ｍ＞１０→ｍ＜０，ｍ＞９　　（ＮＧ）

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