ｎ単純多面体では

　　２ｆ1＝ｎｆ0

が成り立つが，ｎ単体的多面体では

　　２ｆn-2＝ｎｆn-1

である．

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　ｎ次単体的多面体に対しては，デーン・サマービル関係式

　　（−１）^(n-1)ｆk＝Σ(k,n-1)（−１）^j（ｊ＋１，ｋ＋１）ｆj

が成り立つ．また，

　　ｈｊ＝ｈn-j

が成り立つ．

　巡回多面体は単体的多面体であり，上限定理の右辺は，頂点数ｆ0のｎ次元巡回的多面体のｆjである．すなわち，頂点数ｆ0のｎ多面体のｊ面の最大数はいくつか？に対して，頂点数ｆ0のｎ巡回多面体はすべてのｊに対して最大数のｊ面をもつというのが「上限定理」である．

［１］ｎが偶数のとき

　　ｆj≦Σ（ｆ0−ｋ，ｋ）（ｋ，ｊ＋１−ｋ）ｆ0／（ｆ0−ｋ）、ｋ＝１〜［ｎ／２］

［２］ｎが奇数のとき

　　ｆj≦Σ（ｆ0−ｋ，ｋ＋１）（ｋ＋１，ｊ＋１−ｋ）（ｊ＋２）／（ｆ0−ｋ）、ｋ＝０〜［（ｎ−１）／２］

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　ｎ次単体的多面体に対しては，デーン・サマービル関係式

　　（−１）^(n-1)ｆk＝Σ(k,n-1)（−１）^j（ｊ＋１，ｋ＋１）ｆj

が成り立つ．

　また，このデーン・サマービル関係式の書き方はいくつかあるが

　　Σ(0,k)（−１）^k-j（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）ｆj-1＝Σ(0,n-k)（−１）^n-k-j（ｎ−ｊ，ｋ）ｆj-1

　　ｆk-1＝Σ(k,n)（−１）^n-j（ｊ，ｋ）ｆj-1

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