２つの楕円

［１］ｘ^2／ａ^2＋ｙ^2／ｂ^2＝１

［２］ｘ^2／ａ^2＋ｙ^2／ｂ^2＝ｋ　　（ｋ＞１）

がある．

　点Ｐを［１］上の点とし，その点での接線が［２］と交わる点をＭ，Ｎとする．このとき，線分ＭＮと［１］で囲まれる面積は一定である．

　パラメータ表示して，扇型から三角形を差し引く方法を試みる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　ｘ＝ａｃｏｓθ，ｙ＝ｂｓｉｎθ

　　ｄｘ＝−ａｓｉｎθｄθ，ｄｙ＝ｂｃｏｓθｄθ

　　ｄｙ／ｄｘ＝−ｂ／ａ・ｃｏｔθ

　接線の方程式は

　　ｙ−ｂｓｉｎθ＝−ｂ／ａ・ｃｏｔθ・（ｘ−ａｃｏｓθ）

　　ａｙ−ａｂｓｉｎθ＝−ｂｃｏｔθ（ｘ−ａｃｏｓθ）

　　（ｂｃｏｔθ）ｘ＋（ａ）ｙ＝ａｂ（ｓｉｎθ＋ｃｏｓ^2θ／ｓｉｎθ）　　（ｂｃｏｓθ）ｘ＋（ａｓｉｎθ）ｙ＝ａｂ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ｘ＝√ｋ・ａｃｏｓθ

　ｙ＝√ｋ・ｂｓｉｎθ

楕円と接線の交点を

　　（√ｋ・ａｃｏｓα，√ｋ・ｂｓｉｎα）

　　（√ｋ・ａｃｏｓβ，√ｋ・ｂｓｉｎβ）

とすると，

　　（ｂｃｏｓθ）√ｋ・ａｃｏｓα＋（ａｓｉｎθ）√ｋ・ｂｓｉｎα＝ａｂ

　　（ｂｃｏｓθ）√ｋ・ａｃｏｓβ＋（ａｓｉｎθ）√ｋ・ｂｓｉｎβ＝ａｂ

　　ｃｏｓ（θ−α）＝１／√ｋ

　　ｃｏｓ（β−θ）＝１／√ｋ

　　θ−α＝ａｒｃｃｏｓ（１／√ｋ）

　　β−θ＝ａｒｃｃｏｓ（１／√ｋ）

　　β−α＝２ａｒｃｃｏｓ（１／√ｋ）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　Ｓ＝∫ｘｄｙ＝−∫ｙｄｘ＝１／２・∫（ｘｄｙ−ｙｄｘ）

　Ｓ＝１／２・∫（ｘｄｙ−ｙｄｘ）

の形にした方が対称性が保たれて計算しやすい．

　扇型の面積は

　Ｓ＝ｋ／２・∫（ａｂｃｏｓ^2θ＋ａｂｓｉｎ^2θ）ｄθ

　Ｓ＝ａｂｋ／２・∫［α，β］ｄθ＝ａｂ／２・（β−α）

＝ａｂ／２・２ａｒｃｃｏｓ１／√ｋ　　（一定）

　三角形の面積は

　１／２｜√ｋ・ａｃｏｓα，√ｋ・ｂｓｉｎα｜

　　　　｜√ｋ・ａｃｏｓβ，√ｋ・ｂｓｉｎβ｜

＝ａｂｋ／２・ｓｉｎ（β−α）

＝ａｂｋ／２・ｓｉｎ（２ａｒｃｃｏｓ１／√ｋ）　　（一定）

　したがって，（扇型−三角形）の面積は一定である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝