今回のコラムでは「平面分割」，「空間分割」の幾何学における定理をいくつか紹介することにしたい．

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【１】ボヤイ・ゲルヴィンの定理（１８３３年）

　「等積な２つの平面図形は分解合同である」（ボヤイ・ゲルヴィンの定理）

　任意の三角形を平行四辺形に直す→長方形に直すことは小学校の教科書にも載っている方法ですが，平面上に面積の等しい２つの多角形が与えられたとき，どちらにも組み立てられる有限個の小片が必ず存在します．

　デュドニーのカンタベリー・パズルは正三角形をそれと等積の正方形に直す問題ですが，正五角形や正六角形を切り刻んで正方形に再構成する仕方も知られています．また，正六角形をいくつかの小片に切り離して並び替え正八角形をつくることや星形を正方形にかえることも可能です．

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【２】ハドヴィゲール・グリュールの定理

　スイスの何人か幾何学者がボヤイ・ゲルヴィンの定理を深く掘り下げて，新しい結果を得ました．

　「平面上に面積の等しい２つの多角形が与えられたとき，一方を有限個の断片に切り分けて，平行移動を１８０°回転（点対称移動）だけを許して並び換え，もう一方を作ることができる．」

　すなわち，平面図形の分割では，有限個の断片の位置にある条件を課することができるのです．

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【３】デーンの定理（１９０１年）

　「正四面体と直方体は（たとえ同じ体積をもっていたとしても）分割合同ではない」

　このことは，二面角δがπとは通約できない（ｃｏｓδ＝１／３ならばδはπの有理数倍ではない），すなわち，０でない整数ｎ1，ｎ2に対して

　　ｎ1δ＋ｎ2π＝０

が成り立たないことを使って証明されます．

　もちろん，等積であっても分解合同でない２つの多面体は他にも見つけられます．また，デーンの定理から，ガウスの問題「同じ底面積と高さをもつ２つの三角錐は分割合同か？」に対する否定的解決

　　「同じ底面積と高さをもつ２つの三角錐は分割合同ではない．」

ことも証明されます．同様に，そのｎ次元版「等積なｎ次元正単体とｎ次元直方体とは分解合同にならない」ことが結論されます．

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　同じ体積の２つの多面体は常に分解合同であろうか？　１９００年，ヒルベルトは体積の等しい２つの多面体が切断によって合同かどうかを国際数学者会議での問題として問いかけました．それに対して，１９０１年，デーンは体積の等しい立方体と正四面体は切断によって合同でないという結果を証明しました．

　「多面体では体積が等しくても分解合同でないものが存在する」のです．任意の三角形は長方形と分割合同であることが証明されるので，デーンの定理は２次元と３次元の違いを際立たせていることになります．

　デーンを有名にしたこの定理は，パリの国際数学者会議（１９００年）においてヒルベルトが提出した第３問題を直後に否定的に解決したものです．第３問題「分解合同・補充合同でない２つの多面体の存在を示せ」の背景には，ユークリッドの原論にみられる面積と体積の理論を幾何学の厳密な公理の上に再構成しようとしたヒルベルトのプログラム（幾何学基礎論）が潜んでいるのですが，それに対する否定的な解答がデーンの定理というわけです．

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【４】シドラーの定理と分解合同な多面体

　「２つの多面体が分割合同のときだけに限り，それらは補充合同である．」

　「２つの多面体が補充合同ならば，それらは分割合同である．」

　デーンの定理により，一般には同じ体積をもつ他の多面体には組み替えられないのですが，等積な２つの多面体はどんなものでも分解合同ではないという意味ではありません．

　菱形十二面体と直方体の間の立体蝶番返し，鼈臑型四面体の三角柱への組み換えなどは分解合同の例ですが，それは例外的なケースなのであって，多面体においては体積が等しくても分解合同でないものが存在するのです．

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［Ｑ］鼈臑型四面体を三角柱に等積変形せよ

［Ａ］相似比１：３，体積比１：２７となる２７個の鼈臑を組み換えると三角柱を作ることができる．

　ここで，大鼈臑を下から１／３のところで水平に切ると上側は８個の小鼈臑からなる中鼈臑，下側は１９個の小鼈臑からなる三角錐台，さらに８個の小鼈臑からなる中鼈臑を４個＝塹堵＋鼈臑，３個＝陽馬＋鼈臑，１個＝鼈臑に分けることができる．

　このことから，鼈臑型の四面体は４つのピースを組み換えると三角柱になることがわかる．すなわち，鼈臑を下から１／３のところで水平に切る，次に新しくできた四面体を垂直に切る，さらに一方を斜めに切って，４つのピースを組み換えると同じ底面ともとの１／３の高さをもつ角柱に変形させることができる．

　この分解合同はヒルによって与えられたと成書にはあるが，ヒルの論文をあたってみてもそのような記述は見あたらなかった．実際はヒルから約５０年後，スイスの数学者シドラーによって４ピースのエレガントな切断と組み替えが与えられたようだ（ｐ２３４）．

　なお，分割合同であるための必要条件と空間充填形ができるための必要条件は，ほぼ同じと考えられるのですが，空間充填形ができるための必要条件は，二面角δが４直角の整数分の１であることです．菱形十二面体，直方体，鼈臑型四面体などが分解合同であるのは二面角δが４直角の整数分の１であるためです．

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