昨年６月，ロシアの数学者ポントリャーギンの生誕１００年を記念してモスクワで幾何学の国際会議が開催されたのだが，秋山仁先生が「平行多面体および正多面体の元素について」という演目で講演された中から，平行多面体の元素に関する内容を抜粋して紹介したい．
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【１】フェドロフの平行多面体
１種類のブロックを使って，空間を隙間なく埋め尽くすにはどうすればいいだろうか？ レンガはそのひとつの答えなのであるが，どんな形のブロックなら空間を埋め尽くせるだろうか？ そのようなブロックをすべて求めよという問題ならこれは大変な難問である．
そこで，平行多面体に限定して考えてみよう．平行多面体とは辺が平行（したがって平行四辺形面，平行六辺形面に限られる），面が平行，そして平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体である．
平行多面体は立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体の５種類しかない．これら５種類の図形（フェドロフの平行多面体）は３次元格子の幾何学的分類であって，５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる．
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［補］結晶の対称性の群
３次元の格子状配置は１９世紀の初めから，結晶内の原子の配列を記述するのに使われてきたものであり，対称性の群の分類についての仕事の大半は，ブラーベ，フェドロフ，シェーンフリースなど１９世紀の結晶学者によってなされた．
空間での等長変換は，平行移動，回転，並進回転，鏡映，すべり鏡映，回転鏡映，恒等変換の７種類であるから，３次元結晶群は２１９種類存在し，その多くが結晶構造として自然界にも存在している．（結晶をテーマとする物理の本には，たいてい３次元結晶群の数は２３０種類存在すると書かれてあるが，変換が向きを保たないものは異なるものと数えているからである．）
２１９（２３０）通りの空間群が解明されたことで，本質的にはすべて解明されたことになり，そして，これから決まる本質的なディリクレ領域は，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体しかない．
なお，平面上での等長変換は，平行移動，回転，鏡映，すべり鏡映，恒等変換の５種類あり，また，２次元結晶の回転角は，６０°・９０°・１２０°・１８０°・２４０°・２７０°・３００°しかないことを考察することにより，２次元格子で異なる対称性をもつものは１７種類存在することがわかる．この１７種類の対称性は，２次元結晶群としてとらえることができる．この問題は，ロシアのフェドロフとドイツのシェーンフリースによって，まったく別々に解かれた．また，４次元のフェドロフ結晶群は４７８３種類（４８９５種類）存在する．
さらに３次元ブラーベ格子には１８４８年にブラーベが発見した１４種類，４次元のブラーベ格子は６４種類（７４種類：１０組は対掌体の関係）ある．
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【２】ペンタドロン（平行多面体の元素の形）
５種類ある平行多面体を平行多面体に分割する仕方は，１０２通り（それ自身も含めれば１０７通り）あり，平行六面体１，６角柱１，菱形１２面体４，長菱形１２面体６，切頂８面体５ピース，計１７ピースを使えばすべての平行多面体を作ることができることが知られている．それでは１種類の凸多面体ピースを使ってすべての平行多面体を作ることができるだろうか？
裏返し（鏡映対称）の多面体は同一視するが，平行多面体ではたった１種類ですべての平行多面体を充填するような元素が存在するのである．
［秋山の定理：２００８］平行多面体の元素数は１である．
その５面体ピースをσで表し，ペンタドロンと呼ぶことにするが，立方体はσ12（σ96），６角柱はσ144，菱形１２面体はσ192，長菱形１２面体はσ384，切頂８面体はσ48という分子構造になっている．ここで，立方体，菱形１２面体，切頂８面体は直で等辺であるが，６角柱と長菱形１２面体はskewした平行多面体となる．
分子量が最大の長菱形１２面体σ384の中にほかの４種類の分子構造が埋め込まれている．一方，分子量が最小なものは切頂８面体のσ48であるが，切頂８面体には分子量が最小になる理由がある．
平面充填図形の基本形は６角形であり，６角形の１組の対辺を退化させると４角形になる．２次元の場合のアナロジーで，フェドロフの平行多面体を考えると，フェドロフの平行多面体のうち面数が最大の多面体は切頂８面体であるが，切頂八面体には６組の平行な辺があり，６次元立方体と相同と考えることができる．切頂８面体（ｆ＝１４，ｄ＝６）の辺を点に縮めることによって，長菱形１２面体（ｆ＝１２，ｄ＝５）→菱形１２面体（ｆ＝１２，ｄ＝４），６角柱（ｆ＝８，ｄ＝４）→立方体（ｆ＝６，ｄ＝３）ができる．
すなわち，６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものとなっていて，空間充填図形の基本形は切頂８面体と考えられる．切頂８面体の１／４８がペンタドロンとなる所以である．
［補］１種類の図形による空間充填形がもっと高い次元の立方格子の射影であるというのは本質的に正しいようである．なお，５種類ある平行多面体の元素数は１であるが，同じく５種類ある正多面体の元素数は４であることが証明されている．
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【３】４次元平行多面体
一般に，ｎ次元空間充填では，各頂点の周りに少なくともｎ＋１個の多面体が集まる．ｎ＋１個のとき，ｎ次元平行多面体の面数は最大２（２^n−１）個となる（ミンコフスキーの定理）．
すなわち，２次元平行多辺形は最大６辺，３次元平行多面体の面数は最大１４面，４次元平行多胞体の胞数は最大３０胞となる．
４次元の場合，胞数が最大の３０であるものが３つ
Ｐ30＝１０Ｐ14＋２０Ｐ8 （原始的）
Ｐ30＝４Ｐ14＋６Ｐ12＋１２Ｐ10＋２Ｐ8＋６Ｐ6
Ｐ30＝１８Ｐ12＋６Ｐ8＋６Ｐ6
あるが，原始的４次元３０胞体：Ｐ30＝１０Ｐ14＋２０Ｐ8は３次元の六角柱Ｐ8と切頂八面体Ｐ14を組み合わせた３０胞体で，４次元空間の１種類だけの多胞体による空間充填図形である．
２次元の平行多面体は２種類，３次元の平行多面体は５種類ある．４次元の平行多面体は，３次元の５種類から５２種類へと急増する．また，５次元の場合には，原始的でない格子で胞数が最大の６２であるものが３つあるが，５次元での平行多面体の状況ははるかに多様となって，そのリストアップはいまでも完成していない．
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【４】４次元平行多面体の元素の形は？
原始的４次元３０胞体は３次元の六角柱と切頂八面体を組み合わせた３０胞体で，４次元空間の１種類だけの多胞体による空間充填図形である．
４次元はともかく５次元，６次元の図形のアナロジーは少々危険に感ずるところがあるが，４次元の六角柱と４次元切頂八面体（３０胞体）を組み合わせた６２胞体は５次元空間の１種類だけの多胞体による空間充填図形であるに違いない．
それでは，４次元平行多面体の元素は（実際にそのような充填形は存在すると思われるのだが）どのような形になっているのだろうか？ ４次元の図形は直接眼に見えないので正体不明な点が多いのであるが，２次元，３次元からのアナロジーで補完してみたいと思う．
２次元平行多面体の元素は直角三角形である．３次元平行多面体の元素は５面体である．しかし，これからは予測困難である．そこで，元素２個からなる分子を考えると，２次元では凧型４辺形，３次元では凧型面をもつ６面体となる．
このことから，ｎ次元では凧型面をもつ２ｎ胞体の２頂点を北極と南極に配置して子午線で２分割した形，すなわち，偶数次元では
２ｎ／２＋１＝ｎ＋１胞体 （単体）
奇数次元では
（２ｎ−２）／２＋２＋１＝ｎ＋２胞体
になるのではないかとでも予測したくなるが，これもあてずっぽうである．これで辻褄はあっているのだが，はたして４次元平行多面体の元素は凧型面をもつ８胞体を２分割した５胞体だろうか？
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