任意のｎ次元空間に４種類の結晶を構成できることがわかっている．それぞれと同じｆベクトルをもつ異なる多胞体はないのか確認しておきたい．

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［１］ミンコフスキー結晶

　　（３，３｝（１１１）

　　（３，３，３｝（１１１１）

　　（３，３，３，３｝（１１１１１）

　　（３，３，３，３，３｝（１１１１１１）

　すなわち，正単体系の置換多面体で，ファセット数２（２^n−１）の結晶である．すなわち，２次元では６角形，３次元では切頂八面体，４次元では３０胞体，５次元では６２胞体となる．これらと同じｆベクトルをもつ異なる多胞体は存在しない．

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［２］ＢＣＣ結晶

　　（３，４｝（１１０）

　　（３，３，４｝（０１００）

　　（３，３，３，４｝（０１１００）

　　（３，３，３，３，４｝（００１０００）

　すなわち，正軸体．立方体系の切頂多面体である．そのファセット数は２^n＋２ｎになるが，３次元では切頂八面体となり［１］と一致，４次元では２４胞体（正２４胞体），５次元では４２胞体となる．ただし，２次元では８角形ではなく４角形となる．３次元ではこれらと同じｆベクトルをもつ異なる多胞体はあるが，４〜６次元では存在しない．

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［３］ＦＣＣ結晶

　　（３，４｝（０１０）の双対

　　（３，３，４｝（０１００）の双対

　　（３，３，３，４｝（０１０００）の双対

　　（３，３，３，３，４｝（０１００００）の双対

　すなわち，正軸体・立方体の中点切頂多面体の双対である．ファセット数は２ｎ（ｎ−１）になる．これらと同じｆベクトルをもつ異なる多胞体は存在しない．

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［４］ＨＣＰ結晶

　　（３，３｝（１０１）の双対

　　（３，３，３｝（１００１）の双対

　　（３，３，３，３｝（１０００１）の双対

　　（３，３，３，３，３｝（１００００１）の双対

　すなわち，正単体系のワイソフ多面体の双対である．ファセット数はｎ（ｎ＋１）．５次元では，これらと同じｆベクトルをもつ異なる多胞体が存在する．しかし，これはｆベクトルが一致しているだけであって，重複しているわけではない．

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