積分∫(0,∞)Πsin(x/k)/(x/k)dx=?について，

［１］k=iの場合，第３項までだと　　1+1/2+1/3<2

［２］k=2i+1の場合，第６項までだと　　1+1/3+･･･+1/13<2

［３］k=3i+1の場合，第１０項までだと　　1+1/4+･･･+1/28+1/31<2

［４］k=2^iの場合，無限項まで計算しても　　1+1/2+1/4+1/8+･･･+1/2^(i-1)=2(1-1/2^i)<2

であり，このとき，

　　∫(0,∞)Πsin(x/k)/(x/k)dx=π/2

となることをみてきた．

　今回はダメ押しとして

［５］k=i^2の場合

について調べてみる．

　　1+1/4+1/9+1/16+･･･+1/i^2<π^2/6<2

が成り立つことは説明するまでもないであろう．

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【１】∫(0,∞)Πsin(x/k^2)/(x/k^2)dx=?

　阪本ひろむ氏＆Mathematicaに調べてもらった．

　　∫(0,∞)sinx/xdx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/4)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/4)sinc(x/9)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/4)sinc(x/9)sinc(x/16)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/4)sinc(x/9)･･･sinc(x/13^2)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/4)sinc(x/9)･･･sinc(x/14^2)dx=π/2

ここで打ち切り．

　同様に，

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/2^3)sinc(x/3^3)･･･sinc(x/10^3)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/2^4)sinc(x/3^4)･･･sinc(x/10^4)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/2^5)sinc(x/3^5)･･･sinc(x/10^5)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/2^6)sinc(x/3^6)･･･sinc(x/10^6)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/2^7)sinc(x/3^7)･･･sinc(x/10^7)dx=π/2

ここで打ち切り．

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【２】シンク関数とゼータ関数

　微積の学び初めに，ｘ→０としたとき，

　　ｓｉｎｘ／ｘ→１

に出会う．この結果は

　　（ｓｉｎｘ）’＝ｃｏｓｘ，（ｃｏｓｘ）’＝−ｓｉｎｘ

を示すのに用いられる．

　その後，ｓｉｎｘのテイラー展開によって，無限級数

　　ｓｉｎｘ＝ｘ−ｘ^3／３！＋ｘ^5／５！−ｘ^7／７！＋・・・

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝１−ｘ^2／３！＋ｘ^4／５！−ｘ^6／７！＋・・・

が示される．

　それでは，任意のｘに対して，無限積公式

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝ｃｏｓｘ／２ｃｏｓｘ／４ｃｏｓｘ／８・・・

も示しておこう．

（証明）

　　ｓｉｎｘ＝２ｓｉｎｘ／２ｃｏｓｘ／２

　　　　　　＝４ｓｉｎｘ／４ｃｏｓｘ／４ｃｏｓｘ／２

　　　　　　＝８ｓｉｎｘ／８ｃｏｓｘ／８ｃｏｓｘ／４ｃｏｓｘ／２

　　　　　　　・・・・・

　　　　　　＝２^nｓｉｎｘ／２^nｃｏｓｘ／２^n・・・ｃｏｓｘ／２

　書き直すと

　　ｓｉｎｘ＝ｘ［ｓｉｎ（ｘ／２^n）／（ｘ／２^n）］ｃｏｓｘ／２・・・ｃｏｓｘ／２^n

　ここで，ｎ→∞のとき，

　　ｓｉｎ（ｘ／２^n）／（ｘ／２^n）→１

であるから，ｓｉｎｘの無限積表示

　　ｓｉｎｘ＝ｘΠｃｏｓｘ／２^n

　　　　　　＝ｘ（１−ｘ^2／π^2）（１−ｘ^2／４π^2）（１−ｘ^2／９π^2）・・・

が得られる．この結果は，ｓｉｎｘがｘ＝０，±π，±２π，±３π，・・・のとき，０になることに一致している．

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　シンク関数は

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝Σ(-1)^mｘ^2m/(2m+1)!

　　　　　　　　＝１−１／３！ｘ^2 ＋１／５！ｘ^4 −・・・

　　　　　　　　＝１−１／６ｘ^2＋１／１２０ｘ^4−・・・

とベキ級数表示することが可能です．

　このことに関連して，高校の微積分の時間に，ｘ→０としたとき，

sin(x)/(x)→１　すなわち　ｓｉｎ（ｘ）→ｘ

となることを教わったことを憶えておられる方も多いと思われますが，これがｘ＝０のとき，

　　sinc(0)=1

と定義する根拠になっています．

　さらに，シンク関数

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝０

の解が±π，±２π，±３π，±４π，・・・となることを利用して，無限積表示すると

　　sinx/x=(1-x^2/π^2)(1-x^2/4π^2)(1-x^2/9π^2)(1-x^2/16π^2)･･･

　　　　　=Π(1-x^2/k^2π^2)→［補］

　ここで，

　　sinx/x=1-1/6x2+120x4-･･･ （ベキ級数表示）

と

　　sinx/x=Π(1-x^2/k^2π^2)　　（無限積表示）

　　　　　=1-1/π^2(Σ1/k^2)x^2+･･･

の両辺を比較することにより，

　　Σ1/k^2=π^2/6，Σ1/k^4=π^4/90，･･･

が計算されます．

　Σ1/k^2はリーマンのゼータ関数ζ(2)に，Σ1/k^4はゼータ関数ζ(4)に相当します．すなわち，

　　ζ(2)=π^2/6，ζ(4)=π^4/90，

以下，

　　ζ(6)=π^6/945，ζ(8)=π^8/9450，・・・

と続きます．そして，解析接続の後，

　　ζ(0)=-1/2，ζ(-1)=-1/12，ζ(-3)=1/120，ζ(-5)=-1/252，・・・

が得られます．

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