菱形の対角線の長さを２ｄと２，１＜ｄ＜√３とします．この菱形の鋭角をθとおくと

　　ｔａｎ（θ／２）＝１／ｄ　→　θ＝２ａｒｃｔａｎ（１／ｄ）

で表されます（６０°＜θ＜９０°）．

　Ａ，Ｂ，Ｃを菱形六面体からデューラーの八面体を作るために必要な諸計量値とします．その内訳は，Ａ，Ｂが菱形六面体を作るのに必要な計量値，Ｃとｔが切頂に必要な計量値です．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］榎本モデル

　以前，デューラーの八面体の榎本説（７２°説）は，球に内接するが無限入れ子の方に若干のずれがあったことをレポートした．おそらく７２°→正五角形→ペンタクラムからの類推から無限入れ子になると誤解したのであろうが，実際，この切頂菱面体を黄金比切頂（０．６１８：０．３８２）すると球に内接する八面体ができる．

　すなわち，球に内接するが，入れ子構造を持たない場合，

　　θ＝72

　　Ａ＝38.1727

　　Ｂ＝22.4555

　　Ｃ＝47.2567

　　ｔ＝.618034

と計算されました．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［２］宮本モデル

　球に内接し，かつ，入れ子構造を持ち，８個の面がすべて合同な５角形の８面体であるためには，

　　ｄ＝√（１３／７），ｔ＝３／５

であることが必要である．

　この場合は無限入れ子構造をもつが，ｄ＝√（１３／７）＝１．３６２７７という値に特別な意味を見出すことはできない．しかし，面白いことに１回の入れ子につき菱面体の大きさは１／√２の相似比で縮小される．

　すなわち，球に内接し，かつ，入れ子構造を持つ場合

　　θ＝72.5425

　　Ａ＝38.3288

　　Ｂ＝21.8454

　　Ｃ＝46.9113

　　ｔ＝.6

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［３］佐藤モデル

　数学的にみて蓋然性があるもうひとつの候補が，外接球と内接球を同時にもつ双心多面体である．双心多面体という意味では朝鮮サイコロ・中国サイコロと同じである．

　この計算は３次方程式に帰着されるため，定規とコンパスで作図可能ではない．

　　ｄ^3＋４ｄ^2／√３−７ｄ＋４／√３＝０

　　ｄ＝１．４３９２９

この場合も［２］とは別の意味での無限入れ子構造を形成するが，その相似比は０．７９５５１２である．

　すなわち，外接球と内接球を同時にもつ場合

　　θ＝69.5822

　　Ａ＝37.5055

　　Ｂ＝25.1381

　　Ｃ＝48.7874

　　ｔ＝.697728

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝