昨年アップロードしたコラム「デーン不変量と二面角の幾何学」に一部誤りがあったので，そのお詫び・訂正・補足をしておきたいと思います．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】デーンの定理（１９０１年）
「正四面体と直方体は（たとえ同じ体積をもっていたとしても）分割合同ではない」ことは，正四面体の二面角δがπとは通約できない，すなわち，０でない整数ｎ1，ｎ2に対して
ｎ1δ＋ｎ2π＝０
が成り立たないことを使って証明されます．ここで，正四面体の二面角δは
ｃｏｓδ＝１／３，δ＝ａｒｃｃｏｓ（１／３）
でπの有理数倍ではありません．
ここでひとつ補足しておきたいのですが，
ｎ1δ＋ｎ2π≠０
は１個の正四面体が１個の立方体に解体再編されないことを示しているのみならず，２つの正四面体を併せても１個の立方体に解体再編されない，逆に，正四面体半分は１個の立方体に解体再編されないことをも示しています（定性的評価）．
ただし，正四面体の内部だけをくり抜いて立方体が構成できるというのでは困りますから，正四面体固有部分である稜の近傍が含まれることを要請する必要はありますが，正四面体の稜の近傍は立方体の稜の近傍には解体再編されないことを主張しているわけです．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
［注］多面体Ｐに対して，デーン不変量は
Σ（ａi，αi）
で定義されます．ここでａiは辺の長さ，αiは二面角です．
定量的評価，たとえば数量を限定して，１個の正四面体が１個の立方体に解体再編されない，２つの正四面体を併せても１個の立方体に解体再編されない，などを証明したい場合には，
ｎ1δ1＋ｎ2δ2≠０
ではなく
ｎ1Σ（ａi，αi）＋ｎ2Σ（ｂi，βi）≠０
を示す必要があります．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】デーンの定理の一般化
正多面体の二面角は
正四面体 → ｃｏｓδ4＝１／３，δ4＝７０．５２８８°
立方体 → ｃｏｓδ6＝０，δ6＝９０°
正八面体 → ｃｏｓδ8＝−１／３，δ8＝１０９．４７１°
正十二面体 → ｃｏｓδ12＝（１−φ^2）／（１＋φ^2）＝−√５／５，ｔａｎδ12＝−２，δ12＝１１６．５６５°
正二十面体 → ｃｏｓδ20＝（１−φ^4）／（１＋φ^4）＝−√５／３，ｓｉｎδ20＝２／３，δ20＝１３８．１９°
でδ4，δ6，δ8，δ12，δ20はすべて超越数です．
したがって，デーンの定理と同様の議論から
ｎ1δ4＋ｎ2δ6≠０，ｎ1δ4＋ｎ2δ8≠０，ｎ1δ4＋ｎ2δ12≠０，
ｎ1δ4＋ｎ2δ20≠０，ｎ1δ6＋ｎ2δ8≠０，ｎ1δ6＋ｎ2δ12≠０，
ｎ1δ6＋ｎ2δ20≠０，ｎ1δ8＋ｎ2δ12≠０，ｎ1δ8＋ｎ2δ20≠０，
ｎ1δ12＋ｎ2δ20≠０
がいえます．すなわち「立方体と正八面体は（たとえ同じ体積をもっていたとしても）分割合同ではない」，「正四面体と正八面体は（たとえ同じ体積をもっていたとしても）分割合同ではない」等々．
［注］コラム「デーン不変量と二面角の幾何学」では，正四面体と正八面体の二面角は互いに補角（δ4＋δ8＝π）をなすので，
ｎ1δ4＋ｎ2δ8≠０
はいえないと書いたが，ｍｏｄ πで還元する必要はなく，
ｎ1δ4＋ｎ2δ8≠０
も成り立つ．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
それでは，５種類の正多面体で
ｎ1δ4＋ｎ2δ6＋ｎ3δ8＋ｎ4δ12＋ｎ5δ20≠０
は成り立つでしょうか？
それは否です．δ4＋δ8＝π＝２δ6より，（ｎ1，ｎ2，ｎ3，ｎ4，ｎ5）＝（ｋ，−２ｋ，ｋ，０，０）のとき，
ｎ1δ4＋ｎ2δ6＋ｎ3δ8＋ｎ4δ12＋ｎ5δ20＝０
なるケースがあるからです．
しかし，δ8＝π＝２δ6−δ4より
ｎ1δ4＋ｎ2δ6＋ｎ3δ8＋ｎ4δ12＋ｎ5δ20
＝（ｎ1−ｎ3）δ4＋（ｎ2−２ｎ3）δ6＋ｎ4δ12＋ｎ5δ20
ここで，改めて
Ｎ1＝ｎ1−ｎ3，Ｎ2＝ｎ2−２ｎ3，Ｎ3＝ｎ4，Ｎ4＝ｎ5
とおくと
Ｎ1δ4＋Ｎ2δ6＋Ｎ3δ12＋Ｎ4δ20≠０
は成り立ちます．
このことから（δ4，０，０，０），（０，δ6，０，０），（０，０，δ12，０），（０，０，０，δ20）は４次元格子点空間の基底として理解することができます．基底の数はこれ以上減らすことはできません．
［注］３次元の正多面体の二面角について，δ6＝９０°，δ4＋δ8＝１８０°という関係があり，（ｎ1，ｎ2，ｎ3，ｎ4，ｎ5）＝（ｋ，−２ｋ，ｋ，０，０）のとき，
ｎ1δ4＋ｎ2δ6＋ｎ3δ8＋ｎ4δ12＋ｎ5δ20＝０
ですが，それ以外の有理数関係はないようです．また，
Ｎ1δ4＋Ｎ2δ6＋Ｎ3δ12＋Ｎ4δ20≠０
Ｎ1δ8＋Ｎ2δ6＋Ｎ3δ12＋Ｎ4δ20≠０
の一方が成り立てば他方も成り立ちます．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【３】秋山の定理（２００９年）
秋山仁先生は
（Ｑ）何種類かの凸多面体ピースを使ってすべての正多面体を作ること
という問題を考えて，実際に４種類の元素をα，β，γ，δとすると正四面体はα8，正２０面体はβ24，正八面体はβ24γ24，立方体はα8β12γ12，正１２面体はα8β12γ12δ12で構成されることを示しました．このことから
［秋山の定理：２００８］正多面体の元素数は≦４である．
となります．
一方，デーンの定理の一般化により，
Ｎ1δ4＋Ｎ2δ6＋Ｎ3δ12＋Ｎ4δ20≠０
は整数係数（有理係数）で線形独立ですから，必要な原子が最低４種類という結論が主張できます．
［秋山の定理：２００９］正多面体の元素数は≧４である．
このことは正多面体の元素数は少なくとも４種類であり，at most 4とat least 4，これらのことから正多面体の最小元素数は４であると推定されますが，α，β，γ，δはその例であり，秋山仁先生は実際に最小元素数４の例が構成できることを示したことになります．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝