□=(x2-x1)
○=(y2-y1)
△=(z2-z1)
直線と原点の距離の2乗:x^2+y^2+z^2を最小とするxは
x={○/□ (○/□・x1-y1)+△/□ (△/□・x1-z1)}/{{1+(○/□)^2+(△/□)^2}
分母・分子に□^2をかけると
x={(○^2+△^2)x1-□(○y1+△z1)}/{○^2+△^2+□^2}
同様に,
y={(△^2+□^2)y1-○(△z1+□x1)}/{○^2+△^2+□^2}
z={(□^2+○^2)z1-△(□x1+○y1)}/{○^2+△^2+□^2}
これは(□,○,△)と直交することを確認しておきたい.
□(○^2+△^2)x1-□^2(○y1+△z1)
+○(△^2+□^2)y1-○^2(△z1+□x1)
+△(□^2+○^2)z1-△^2(□x1+○y1)
=0
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x^2+y^2+z^2の分母
={○^2+△^2+□^2}^2
x^2+y^2+z^2の分子
={(○^2+△^2)x1-□(○y1+△z1)}^2
+{(△^2+□^2)y1-○(△z1+□x1)}^2
+{(□^2+○^2)z1-△(□x1+○y1)}^2
=(○^2+△^2)^2x1^2+□^2(○y1+△z1)^2-2(○^2+△^2)x1□(○y1+△z1)
+(△^2+□^2)^2y1^2+○^2(△z1+□x1)^2-2(△^2+□^2)y1○(△z1+□x1)
+(□^2+○^2)^2z1^2+△^2(□x1+○y1)^2-2(□^2+○^2)z1△(□x1+○y1)
=(○^4x1^2+2○^2△^2x1^2+△^4x1^2+□^2○^2y1^2+2□^2○△y1z1+□^2△^2z1^2-2(○^2+△^2)(□○x1y1+□△x1z1)+・・・
複雑になったが,もう少し粘ってみたい.
x^2+y^2+z^2の分子
=(○^4x1^2+2○^2△^2x1^2+△^4x1^2+□^2○^2y1^2+2□^2○△y1z1+□^2△^2z1^2-2(○^2+△^2)(□○x1y1+□△x1z1)+・・・
=(○^4x1^2+2○^2△^2x1^2+△^4x1^2+□^2○^2y1^2+2□^2○△y1z1+□^2△^2z1^2-2(○^2+△^2)(□○x1y1+□△x1z1)+・・・
=(○^4x1^2+2○^2△^2x1^2+△^4x1^2+□^2○^2y1^2+2□^2○△y1z1+□^2△^2z1^2-2□○^3x1y1-2□○^2△x1z1-2□○△^2x1y1-2□△^3x1z1+・・・
項同士が打ち消される気配はないが・・・
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[まとめ]捻れのため,稜面距離になると思われるが,11.0916は意味をなすだろうか? これを数値的に確認する準備はできたことになる.
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