中川宏さんは目下，プラトン立体，アルキメデス立体，カタラン立体の木工制作中である．黄金比に関連する多面体としては，正十二面体や正二十面体，正二十面体の１２の頂点を五角錐の高さの１／３で切り取って得られるサッカーボールや正十二面体の２０の頂点を三角錐の高さの１／２でカットして得られる１２・２０面体などについてこれまで何度か紹介したことがある．

　１．切頂型

　　ａ）非中点切頂型・・・切頂十二面体，切頂二十面体

　　ｂ）中点切頂型・・・１２・２０面体

　２．切頂・切稜型

　　ａ）切頂優位型・・・大菱形１２・２０面体

　　ｂ）切稜優位型・・・小菱形１２・２０面体

　今回のコラムでは，切頂・切稜型アルキメデス立体である大菱形１２・２０面体，小菱形１２・２０面体の木工製作について論及する．

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【１】正十二面体の計量

　もとの立方体の１辺の長さを２，もとの立方体表面に残る１本の稜の長さを２ｄとします（０≦ｄ≦１）．すると切稜角φとの関係は

　　ｔａｎφ＝１−ｄ

で表されます．

　切削してできる五角形面の頂点をｘｙｚ座標で表すと（０，１，ｄ）の巡回置換（１，ｄ，０），（ｄ，０，１）を頂点にもつことがわかります．この３点の重心は

　　（（１＋ｄ）／３，（１＋ｄ）／３，（１＋ｄ）／３）

ですからこの３点を結ぶと正三角形になること，また，もとの立方体の表面の痕跡がないまったく新たに作られた頂点はこの３点から等距離にあることから

　　（Ｄ，Ｄ，Ｄ）

と表されることも理解されます．

　すなわち，五角面の頂点の座標は

　　Ａ（０，１，ｄ）

　　Ｂ（−Ｄ，Ｄ，Ｄ）

　　Ｃ（−ｄ，０，１）

　　Ｄ（ｄ，０，１）

　　Ｅ（Ｄ，Ｄ，Ｄ）

ここで，

　　Ｄ＝１／（２−ｄ）

と計算されます．

　５辺が等長となるための条件は，辺ＡＥ＝辺ＣＤより

　　Ｄ^2＋（Ｄ−１）^2＋（Ｄ−ｄ）^2＝４ｄ^2　　→　ｄ^2−３ｄ＋１＝０

ですから，これを解いて

　　ｄ＝（３−√５）／２，Ｄ＝（−１＋√５）／２

　正十二面体の辺間距離は２ですが，頂点間距離は

　　２（１＋ｄ^2）^1/2＝２．１４０９３

また，切稜角φとの関係は

　　ｔａｎφ＝１−ｄ

で表されますから，面間距離は

　　２／（１＋（１−ｄ）^2）^1/2＝１．７０１３

となり，面間距離が最小であることがわかります．

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【２】切頂・切稜型多面体の計量

　正多面体のある頂点から隣接する頂点までの距離のどのくらいを切稜，切頂するのか，その切稜率をｓ，切頂率をｔとおきます．大菱形１２・２０面体，小菱形１２・２０面体はともに，正十二面体の切頂・切稜型多面体なのですが，

　　　　　　　　　　　　　切稜率ｓ　　　切頂率ｔ

小菱形１２・２０面体　　　１／３　　　　ｙ＝２ｓ

大菱形１２・２０面体　　　１／５　　　　ｔ＝３ｓ

と計算されます．→コラム「切頂・切稜型多面体の計量」参照

　前節では正十二面体の辺間距離，頂点間距離，面間距離を求めましたが，ここではそれぞれの切稜面間距離と切頂面間距離を求めてみることにします．

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［１］切稜面間距離

　切稜面は正方形面となるのですが，その頂点のｙ座標は

　　ｙ＝ｓＤ

で与えられます．したがって，ｘ＝ｓＤとなります．

　ｚ座標はＡＢＣＤＥ面の方程式が

　　Ｄｙ＋ｚ＝１

となることより，

　　ｚ＝１−Ｄｙ＝１−ｓＤ^2

　また，切稜面間距離は２ｚで与えられますから

　　２ｚ＝２（１−ｓＤ^2）

より

　　　　　　　　　　　　　切稜面間距離

小菱形１２・２０面体　　　１．７４５３６　　（ｓ＝１／３）

大菱形１２・２０面体　　　１．８４７２１　　（ｓ＝１／５）

になります．

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［２］切頂面間距離

　頂点Ｃ（−ｄ，０，１），Ｅ（Ｄ，Ｄ，Ｄ），Ｆ（Ｄ，−Ｄ，Ｄ）を底面とし，もう一つの頂点をＤ（ｄ，０，１）とする三角錐に注目します．

　底面の重心は（（−ｄ＋２Ｄ）／３，０，（１＋２Ｄ）／３）にありますから，切頂面の重心は（ｄ，０，１）と（（−ｄ＋２Ｄ）／３，０，（１＋２Ｄ）／３）をｔ：１−ｔに内分する位置

　　（（１−ｔ）ｄ＋ｔ（−ｄ＋２Ｄ）／３，０，（１−ｔ）＋ｔ（１＋２Ｄ）／３）

にあります．　

　切頂面間距離はこの点と中心（０，０，０）間距離の２倍で与えられますから

　　　　　　　　　　　　　切頂面間距離

小菱形１２・２０面体　　　１．７７７４８　　（ｔ＝２／３）

大菱形１２・２０面体　　　１．８１３８３　　（ｔ＝３／５）

になります．

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【３】まとめ

　　　　　　　　小菱形１２・２０面体　　大菱形１２・２０面体

面間距離　　　　１．７０１３　　　　　　１．７０１３

切稜面間距離　　１．７４５３６　　　　　１．８４７２１

切頂面間距離　　１．７７７４８　　　　　１．８１３８３

　このような計算が高精度木工に役だってくれることを願っています．

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