∫(0,t)ｓｉｎｔ／ｔｄｔ
の披積分関数をべき級数に展開したのち，項別に積分すると，
ｘ−ｘ^3／３・３！＋ｘ^5／５・５！−・・・
が得られる．正弦積分とは，
Ｓｉ（ｘ）＝∫(0,t)ｓｉｎｔ／ｔｄｔ
として定義される特殊関数（初等関数によって表し得ない関数）である．
また，その特殊値
Ｓｉ（∞）＝∫(0,∞)ｓｉｎｔ／ｔｄｔ＝π／２
はディリクレ積分とも呼ばれる．
∫(0,∞)sinx/xdx=π/2
はよく知られていて，複素積分などを用いて求めることができる．
コラム「シンク関数の数学的諸性質」ではシンク関数の積分
∫(0,∞)Πsin(x/(2k+1))/(x/(2k+1))dx=π/2 k=0~6
∫(0,∞)sin^k(ax)/x^kdx=a^(n-1)π/2-a^(n-1)π/(m-1)!2^(n-1)Σ(-1)^(r-1)(n-1,r-1)(n-2r)^(n-1)
について調べてみた．とくに，
∫(0,∞)Πsin(x/(2k+1))/(x/(2k+1))dx=π/2 k=0~6
では，非常におもしろい現象が起こっていることについて述べた．
∫(0,∞)sincxsinc(x/3)dx=π/2
∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)dx=π/2
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∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)･･･sinc(x/13)dx=π/2
が成り立ち，これらは一般に
∫(0,∞)Πsinc(kx)dx=π/2
と書くことができる．Mathematicaを用いて計算してみても，
∫(0,∞)Πsinc(kx)dx,
k=1/(2i+1),i=0~
において，ｉ≦６でπ/2となる．
ところが，ｉ＝７のとき，
∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)･･･sinc(x/13)sinc(x/15)dx=R*π
R=467807924713440738696537864469/935615849440640907310521750000
=0.499999999992646･･･
となって，π/2とはならないのである．
さらに検証してみると，ｉ≧７で右辺はπ/2にはならず，ｉ＝８では，
∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)･･･sinc(x/15)sinc(x/17)dx=R*π
R=17708695183056190642497315530628422295569865119/354173907883011952948983529875210935040000000
ｉ≧９でも同様に，有理数ではあるが簡単なものにはならなかった．
次に，係数を変えて
∫(0,∞)Πsinc(kx)dx,
k=1/(3i+1),i=0~
を計算してみた結果，ｉ≦１０でπ/2となった．
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【１】フレネル積分
∫(0,∞)sin√x/xdx=?
において，y=√xとおくと，dx=2ydyより
∫(0,∞)siny/y^2･2ydy=2∫(0,∞)siny/ydy=π
となる．しからば
∫(0,∞)sinx/√xdx=?
というのが今回の問題である．
y=√xとおくと
∫(0,∞)sinx/√xdx=∫(0,∞)siny^2/y･2ydy=2∫(0,∞)siny^2dy
はフレネル積分の特殊値となり，ｘ→∞の極限は
∫(0,∞)sinx/√xdx=√(π/2)
になる．
結論を先にいってしまったが，披積分関数をべき級数に展開したのち，項別に積分すると，次の展開式が得られるという．
(∫(0,∞)sinx/√xdx）^2=Σ(2k)!/2^2k(k!)^2･1/(2k+1)
=Π4k^2/(4k^2-1)=π/2
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【２】フレネル積分の数学的諸性質
フレネル積分に対して，序文同様の拡張を施してみたい．すなわち，
∫(0,∞)Πsin(x/(2k+1))/(x/(2k+1))^1/2dx=?
∫(0,∞){sin(x)/√x}^kdx=?
以下の積分は，阪本ひろむ氏＆Mathematicaに負うものである．
［１］∫(0,∞)Πsin(x/(2k+1))/(x/(2k+1))^1/2dx=?
∫(0,∞)sinx/xdx=π/2
∫(0,∞)sincxsinc(x/3)dx=π/2
∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)dx=π/2
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)･･･sinc(x/13)dx=π/2
∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)･･･sinc(x/15)sinc(x/17)dx=R*π
R=17708695183056190642497315530628422295569865119/354173907883011952948983529875210935040000000
∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)･･･sinc(x/15)sinc(x/17)dx=R*π
R=17708695183056190642497315530628422295569865119/354173907883011952948983529875210935040000000
に対して
∫(0,∞)sinx/√xdx=√(π/2)
∫(0,∞)sinx/√x･sin(x/3)/√(x/3)dx=1/2√(3)log(2)
∫(0,∞)sinx/√x･sin(x/3)/√(x/3)･sin(x/5)/√(x/5)dx=1/2(-√7+√13+√17-√23)√(π/2)
∫(0,∞)sinx/√x･sin(x/3)/√(x/3)･sin(x/5)/√(x/5)･sin(x/7)/√(x/7)dx=0
∫(0,∞)sinx/√x･sin(x/3)/√(x/3)･sin(x/5)/√(x/5)･sin(x/7)/√(x/7)･sin(x/9)/√(x/9)dx=1/1260(-67√67+137√137+157√157+193√193-227√227-263√263+277√277-283√283-347√347+353√353√-367√367-403√403+437√437+473√473+493√493-563√563)√(π/6)
フレネル積分では，おもしろい現象は起こらなかった．
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［２］∫(0,∞)Πsin((2k+1)x)/((2k+1)x)^1/2dx=?
∫(0,∞)sincxdx=π/2
∫(0,∞)sincxsinc(3x)dx=π/6
∫(0,∞)sincxsinc(3x)sinc(5x)dx=π/10
∫(0,∞)sincxsinc(3x)sinc(5x)sinc(7x)dx=22π/315
∫(0,∞)sincxsinc(3x)sinc(5x)sinc(7x)sinc(9x)dx=3677π/72576
∫(0,∞)sincxsinc(3x)sinc(5x)sinc(7x)sinc(9x)sinc(11x)dx=48481π/1247400
に対して
∫(0,∞)sinx/√xdx=√(π/2)
∫(0,∞)sinx/√x･sin3x/√3xdx=log(2)/2√3
∫(0,∞)sinx/√x･sin3x/√3xdx･sin5x/√5x=1/2(-4+√3+√7)√(π/30)
∫(0,∞)sinx/√x･sin3x/√3xdx･sin5x/√5x･sin7x/√7x=π/4√105
∫(0,∞)sinx/√x･sin3x/√3xdx･sin5x/√5x･sin7x/√7x･sin9x/√9x=1/36(-181+3√3-10√5√+14√7+11√11-13√13+15√15-17√17＋19√19+23√23)√(π/210)
∫(0,∞)sinx/√x･sin3x/√3xdx･sin5x/√5x･sin7x/√7x･sin9x/√9x･sin11x/√11x=1/48√1155(-1576log(2)-324log(3)+75log(5)-98log(7)+121log(11)+169log(13)+289log(17))
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［３］∫(0,∞){sin(x)/√x}^kdx=?
∫(0,∞)sin(x)/xdx=π/2
∫(0,∞)sin^2(x)/x^2dx=π/2
∫(0,∞)sin^3(x)/x^3dx=π/8
∫(0,∞)sin^4(x)/x^4dx=π/3
∫(0,∞)sin^5(x)/x^5dx=115π/384
∫(0,∞)sin^6(x)/x^6dx=11π/40
∫(0,∞)sin^7(x)/x^7dx=5887π/23040
に対して
∫(0,∞){sin(x)/√x}dx=√(π/2)
∫(0,∞){sin(x)/√x}^2dx 収束せず
∫(0,∞){sin(x)/√x}^3dx=(3-√3)/2･√(π/2)
∫(0,∞){sin(x)/√x}^4dx=π/4
∫(0,∞){sin(x)/√x}^5dx=5(-2+3√3-√5)/12･√(π/2)
∫(0,∞){sin(x)/√x}^6dx=3/16･log（256/27)
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【３】フレネル積分の物理的諸性質
フレネルが光の回折の研究に用いた積分は，今日，フレネル積分として知られている．電波の通路に山岳その他の障害物があっても，電波は回折現象によって陰の部分にも到着する．障害物の陰であっても弱い電波が到達することや逆に障害物があるために自由空間よりも強い電波の到達地点が存在するのである．
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