（その２１）以降は空間の回転についてみてきたが，実は３次元の群と４次元の群との間には特殊な関係がある．それは３次元の回転はひとつの四元数で特定することができ，４次元の回転はふたつの四元数で特定することができるからである．

　ただし，写像は１：１ではなく２：１であるためその詳細は微妙なものとなる．四元数の単元全体はＳＵ2をなすが，それはＳＯ3の二重被覆であるからである．

　四元数に比較して，八元数は幾何学や物理学への明らかな応用をもたず，あまる注目されなかったことは否めない．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　フルビッツの整数，

　　ω＝（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

は，

　　ω^2＝（−１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

　　ω^3＝−１

　　ω^4＝−（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

　　ω^5＝（１−ｉ−ｊ−ｋ）／２

　　ω^6＝１

より１の原始６乗根であり，ωは４次元空間内の６０°回転に対応していると考えることができる．

　同じことを八辺整数環で行うと，超六角形（一般化された六角形）と呼ばれるグラフができる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝