四元数ω＝（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２は単位四元数である．一方，軸ｎ周りのθ回転は単位四元数

　　ｑ＝（ｃｏｓθ／２，ｓｉｎθ／２ｎ）

で表せるから

　　θ／２＝π／３，ｎ＝（１／√３，１／√３，１／√３）

すなわち，（１，１，１）方向を軸とする１２０°回転に対応している．

　同様に，

　　ω^2＝（−１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

はθ／２＝２π／３，ｎ＝（１／√３，１／√３，１／√３）より（１，１，１）方向を軸とする２４０°回転，

　　ω^4＝−（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

はθ／２＝−π／３，ｎ＝（１／√３，１／√３，１／√３）より（１，１，１）方向を軸とする−１２０°回転，

　　ω^5＝（１−ｉ−ｊ−ｋ）／２

はθ／２＝−π／３，ｎ＝（１／√３，１／√３，１／√３）より（１，１，１）方向を軸とする−１２０°回転．

　　ｑ＝±１

はθ／２＝±π，ｎ＝（０，０，０）より無回転（恒等写像）であるが，

　　ｑ＝±ｉ

はθ／２＝±π／２，ｎ＝（１，０，０）より（１，０，０）方向＝ｘ軸を軸とする±９０°回転に対応している．

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　各軸周りの回転角θをオイラー角と呼ぶ．回転行列は

　　　　　［１，　　　０，　　　０　］

　　Ｒ1 ＝［０，　ｃｏｓθ，ｓｉｎθ］

　　　　　［０，−ｓｉｎθ，ｃｏｓθ］

　　　　　［ｃｏｓθ，０，−ｓｉｎθ］

　　Ｒ2 ＝［　　０，　１，　　　０　］

　　　　　［ｓｉｎθ，０，　ｃｏｓθ］

　　　　　［　ｃｏｓθ，ｓｉｎθ，０］

　　Ｒ3 ＝［−ｓｉｎθ，ｃｏｓθ，０］

　　　　　［　　　０，　　　０，　１］

として，各軸周りの回転の合成Ａ＝Ｒ1Ｒ2Ｒ3のようなものを考えた場合，軸周りの回転の順番を変えると結果が違ってしまう．

　また，Ａ＝Ｒ1（θ1）・Ｒ2（θ2）・Ｒ3（θ3）において，θ2＝π／２とすると

　　　　［　　０　　　　　　，　　　０　　　　　　，−１］

　　Ａ＝［ｓｉｎ（θ1−θ3），　ｃｏｓ（θ1−θ3），　０］

　　　　［ｃｏｓ（θ1−θ3），−ｓｉｎ（θ1−θ3），　０］

となり，もはやｘ軸周りの回転を表すことができなくなる．これはｙ軸を９０°傾けると，ｘ軸とｚ軸が同軸になってしまうからである．

　単位四元数を用いた回転ではこれらを避けることができるのだが，実用上はオイラー角方式による回転の取り扱いも捨て去られたわけではないとのことである．

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