今回のコラムでは「７の定理」と「５の例外」について再考してみたい．

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【１】クロフトの不動化定理（７の定理）

　（その９）において，クロフトの不動化定理を紹介した．Ｐ　ｉｎ　Ｑの不動化（平行移動も回転もしない）には少なくとも７ポイントの拘束が必要になるという定理である．ここで，

(1)Ｐの頂点がＱの面と接触するとき，１ポイントと数える．

(2)Ｐの頂点がＱの辺と接触するとき，２ポイントと数える．

(3)Ｐの頂点がＱの頂点と接触するとき，３ポイントと数える．

(4)Ｐの面がＱの面と接触するとき，３ポイントと数える．

　この定理がいわんとしていることは３次元空間内でも運動の６自由度（ｘ方向・ｙ方向・ｚ方向の速度，ｘ軸まわり・ｙ軸まわり・ｚ軸まわりの角速度）を同時にコントロールし，それを制御するためには６＋１＝７の拘束が必要になるという物理的な意味合いである．

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【２】不動化≠最大内接（５の例外）

　ところで，不動化されていなければ最大内接ではなく，不動化されているいくつかのケースから最大内接を選び出す必要があることは直観的に尤もらしく思える．すなわち，

　　動く＝最大内接でない

　　動かない＝最大内接の可能性がある

　多くの場合，この推論は正しいが，直方体の中に内接する立方体は最大内接であっても動くのであるから例外的なケースが存在することもわかるだろう．例外となる５つのケースは以下の通りである．

［１］最大内接であっても回転するケース

(a)Ｐ，Ｑの２頂点が共通

(b)Ｐ，Ｑの１頂点が共通，かつ，Ｐの面がＱの面と接触する

(c)Ｐの頂点がＱの辺と接触し，かつ，Ｐの面がＱの面と接触する

(d)同一平面上にないＰの少なくとも４頂点がＱの平行な２面と接触する

［２］最大内接であっても平行移動するケース

(e)同一平面上にないＰの少なくとも４頂点がＱの２面と接触する

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［参］Croft, HT: On maximal regular polyherda inscribed in a regular polyhedron, Proc. London Math Soc(3), 41, 279-296, 1980

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