（その８）〜（その１０）に掲げた，チェビシェフの粗い素数定理

　　ｃ1ｘ／ｌｏｇｘ＜π（ｘ）＜ｃ2ｘ／ｌｏｇｘ

の複素関数論を用いない証明についての解説が

　　［参］小山信也「素数とゼータ関数」共立出版

にもある．購読されたい．

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　以下の不等式も，本質的にチェビシェフの議論に従う．

　　θ（ｘ）＝Σｌｏｇｐ

　　φ（ｘ）＝Σθ（ｘ^1/n）

　　Ｔ（ｘ）＝Σｌｏｇｎ＝ｌｏｇ（ｘ！）

　　α（ｘ）＜φ（ｘ）＜φ（ｘ／６）＋α（ｘ）

　　Ａ2ｘ≦φ（ｘ）≦Ａ1ｘ

　　Ａ3ｘ≦θ（ｘ）≦Ａ1ｘ

は

　　φ（ｘ）≦Σ｛φ（ｘ／６^j）−φ（ｘ／６^j+1）｝＜Σα（ｘ／６^j）

≦０．９３５３（１＋１／６＋１／６^2＋・・・）ｘ≦１．１２２４ｘ

　　Ａ1＝１．１２２４

同様に，

　　Ａ2＝０．９０７２，Ａ3＝０．７３

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