（その８）〜（その１０）に掲げた，チェビシェフの粗い素数定理

　　ｃ1ｘ／ｌｏｇｘ＜π（ｘ）＜ｃ2ｘ／ｌｏｇｘ

の複素関数論を用いない証明についての解説が

　　［参］小山信也「素数とゼータ関数」共立出版

にもある．購読されたい．

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【１】ハーディ・リトルウッド予想

　　１^2＋１＝２　　　　　（素数）

　　２^2＋１＝５　　　　　（素数）

　　４^2＋１＝１７　　　　（素数）

　　６^2＋１＝３７　　　　（素数）

　　８^2＋１＝６５　　　　（素数でない）

　１０^2＋１＝１０１　　　（素数）

　ｎ^2＋１型素数は無数にあるでしょうか？　これも無数に存在すると予想されていますが，証明はわかっていません．

　ｎ^2＋１型素数が無限に存在するかどうかは未解決問題ですがが，数ｎ＝ｋ^2＋１が素数である確率は，おおよそ

　　１／ｌｏｇｎ・１／√ｎ

したがって，

　　πq（ｘ）〜Ｃ∫(2,x)ｄｔ／（ｌｏｇｔ・√ｔ）〜Ｃ√ｘ／（ｌｏｇｘ）

と予想できます．ハーディとリトルウッドはＣの値も決定しています．

　　Ｃ＝Π（１−χ（ｐ）／（ｐ−１））

　　ｎ^2＋１＝０　（ｍｏｄｐ）→　χ（ｐ）＝１

　　ｎ^2＋１≠０　（ｍｏｄｐ）→　χ（ｐ）＝−１

　　Ｃ＝Π（１−（−１）^(p-1)/2／（ｐ−１））＝１．３７２７・・・

　一般に，２次式，たとえば，

　　ｎ^2＋１型素数，ｎ^2＋２型素数

は無数にあるでしょうか？　これも無数に存在すると予想されていますが，証明はわかっていません．一般に

　　ａｎ^2＋ｂｎ＋ｃ型素数

は無限に存在すると予想されています（ハーディ・リトルウッド予想）．

　　πq（ｘ）〜Ｃ√ｘ／√ａ（ｌｏｇｘ）

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【２】ブニャコフスキー予想（１８５７年）

　ｎ^2＋１のように自明な因数をもたないｎの任意の多項式は，無限個の素数を表す．

　ｎ^2＋ｎ＋２は常に２で割り切れる．

　ｎ^2＋ｎ＋４１はｎ＝−４０〜４０に対して素数である．

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