【１】チェビシェフの証明

　ここではチェビシェフの定理「ｎと２ｎの間に素数がある」の初等的証明を紹介したい．

　　θ（ｘ）＝Σｌｏｇｐ

　　φ（ｘ）＝Σθ（ｘ^1/n）

　区間（ｘ，２ｘ］，ｘ≧３７とする．この区間に素数が存在しなかれば，

　　θ（２ｘ）＝θ（ｘ）

であるが，

　　１．４６ｘ≦θ（２ｘ）＝θ（ｘ）≦１．１３ｘ

となり，矛盾．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】ラマヌジャンの証明

　　φ（ｘ）−２φ（√ｘ）≦θ（ｘ）≦φ（ｘ）

　　φ（ｘ）−φ（ｘ／２）≦ｌｏｇｘ！−２ｌｏｇ（ｘ／２）！≦φ（ｘ）−φ（ｘ／２）＋φ（ｘ／３）

　ここで，スターリングの公式より

　　２ｘ／３＜ｌｏｇｘ！−２ｌｏｇ（ｘ／２）！＜３ｘ／４

　　θ（ｘ）−θ（ｘ／２）＞ｘ／６−３√ｘ

ｘ＞３２４に対して，ｘ／６−３√ｘ＞０

ｘ＞１６２に対して，θ（２ｘ）−θ（ｘ）＞０

　ｘ＜１６２のばあいは容易に調べられるので，ｘと２ｘの間には素数が心材するというベルトラン仮説は成り立つことがわかる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝