今回のコラムでは，中川宏さんが製作された正十二面体に内接する最大の正多面体のアクリル模型を紹介します．

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【１】Ｔ　ｉｎ　Ｄ

　正十二面体の８個の頂点を結ぶと，正十二面体の中に立方体ができます．また，正四面体の６個の面の対角線を結ぶと，立方体の中に正四面体ができます．

　正十二面体＞立方体＞正四面体

の最大内接入れ子です．

　したがって，体積比は

　　φ^3・４／３（１５＋７√５）＝0.184262

になります．

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【２】Ｃ　ｉｎ　Ｄ

　正十二面体の８個の頂点を結ぶと，正十二面体の中に立方体ができます．このとき，立方体の１辺は正十二面体の対角線ですから，正十二面体の１辺の長さを１とすると，黄金比φ＝（１＋√５）／２に等しくなります．したがって，体積比は

　　φ^3・４／（１５＋７√５）＝0.552786

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【３】Ｏ　ｉｎ　Ｄ

　正十二面体の辺心図において，もとの立方体の１辺の長さを２，もとの立方体表面に残る１本の稜の長さを２ｄとします（０≦ｄ≦１）．すると頂点は

　　（±１，±ｄ，０），（０，±ｄ，±１），（±ｄ，０，±１）

すなわち，切削してできる五角形面の頂点をｘｙｚ座標で表すと（０，１，ｄ）の巡回置換（１，ｄ，０），（ｄ，０，１）を頂点にもつことがわかります．ｄは

　　ｄ＝（３−√５）／２

と計算されます．

　正十二面体に内接する正八面体の体積が最大となるのは，正八面体の６つの頂点が正十二面体の辺の中点

　　（±１，０，０），（０，±１，０），（０，０，±１）

にあるときです．したがって，正八面体の辺の長さは√２で，正八面体の体積は立方体の１／６ですから，正八面体と正十二面体の体積比は

　　３２／｛６（３−√５）^3（１５＋７√５）｝＝0.390274

になります．

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【４】Ｉ　ｉｎ　Ｄ

　クロフトのやり残した未解決問題です．

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