今回のコラムでは，中川宏さんが製作された正八面体に内接する最大の正多面体のアクリル模型を紹介します．

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【１】Ｔ　ｉｎ　Ｏ

　正八面体のひとつの面が正四面体の面と一致し，残りの頂点が正八面体の面の接触するとき，正八面体に内接する最大の正四面体が得られます．このとき，体積比は

　　√２／１２・３／√２＝１／４＝0.25

になります．

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【２】Ｃ　ｉｎ　Ｏ

　正八面体の頂点からでる４本の辺をｋ：１−ｋに内分する４点をとります．その頂点の対蹠頂点からでる４本の辺をｋ：１−ｋに内分する４点をとり，この８点を選べば正八面体に内接する最大の立方体が得られます．

　　ｋ＝（１−ｋ）√２

より，

　　ｋ＝２−√２

したがって，体積比は

　　（２−√２）^3・３／√２＝0.426407

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【３】Ｉ　ｉｎ　Ｏ

　正八面体の１２個の辺を１：φに内分する点を結ぶと，正八面体の中に正二十面体ができます．正八面体の１辺の長さを１とするとき，

　　１／（１＋φ）＝１／φ^2，φ／（１＋φ）＝１／φ

ですから，余弦定理より正二十面体の１辺の長さｋは

　　ｋ^2＝１／φ^4＋１／φ^2−２・１／φ^2・１／φ・ｃｏｓ６０°

　　ｋ＝√２／φ^2

　体積比は

　　２√２／φ^6・（１５＋５√５）／１２・３／√２＝0.72949

となります．

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【４】Ｄ　ｉｎ　Ｏ

　クロフトのやり残した未解決問題です．

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