任意のｎ次元空間に４種類の結晶を構成できる．４種類あるのは，正単体系と正軸体・立方体系のそれぞれに対して，ボロノイ細胞とドローネー細胞があり，両者が単一空間充填多面体となるタイミングがずれるため，２×２＝４種類の結晶を構成できるのである．（その３）を補足したい．

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［１］ミンコフスキー結晶

　　（３，３｝（１１１）

　　（３，３，３｝（１１１１）

　　（３，３，３，３｝（１１１１１）

　　（３，３，３，３，３｝（１１１１１１）

すなわち，正単体系の置換多面体である．

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［２］ＨＣＰ結晶

　　（３，３｝（１０１）の双対

　　（３，３，３｝（１００１）の双対

　　（３，３，３，３｝（１０００１）の双対

　　（３，３，３，３，３｝（１００００１）の双対

すなわち，正単体系のワイソフ多面体の双対である．

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［３］ＢＣＣ結晶

　　（３，４｝（１１０）

　　（３，３，４｝（０１００）

　　（３，３，３，４｝（０１１００）

　　（３，３，３，３，４｝（００１０００）

すなわち，正軸体．立方体系の切頂多面体である．

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［４］ＦＣＣ結晶

　　（３，４｝（０１０）の双対

　　（３，３，４｝（０１００）の双対

　　（３，３，３，４｝（０１０００）の双対

　　（３，３，３，３，４｝（０１００００）の双対

すなわち，正軸体・立方体の中点切頂多面体の双対である．

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［５］重複

　３次元では，

　　（３，３｝（１１１）＝（３，４｝（１１０）

　　（３，４｝（０１０）＝（３，３｝（１０１）

となるので，［１］＝［３］，［２］＝［４］は一致する．

　４次元では，（３，３，４｝（０１００）とその双対は正２４細胞体となり，一致する．［３］＝［４］

　５次元以上では重複しないことが簡単に証明できる．

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