今回のコラムでは，中川宏さんが製作された正四面体に内接する最大の正多面体のアクリル模型を紹介したい．

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【１】Ｃ　ｉｎ　Ｔ

（Ｑ１）正三角形に正方形を内接させる問題を考えます．正方形の４つの頂点は正三角形の辺上にあり，２つの頂点は正三角形の底辺に，あとの２つの頂点はそれぞれ斜辺の上にあるものとします．

（Ａ１）正三角形の１辺の長さを１とし，正三角形の斜辺上にある正方形の頂点がそれをｘ：１−ｘに内分するとき

　　ｘ＝（１−ｘ）ｓｉｎ６０°

より

　　ｘ＝２√３−３

（Ｑ２）正四面体に立方体を内接させる問題を考えます．正方形の８つの頂点は正四面体の面上にあり，４つの頂点は正四面体の底面に，２つの頂点は斜面に，あとの２つの頂点はそれぞれ斜面の上にあるものとします．

（Ａ２）正四面体の面上に立方体の１面と１辺と２頂点が接する配置ですが，このとき，正四面体に内接する最大の立方体が得られます．その場合の体積比の計算方法ですが，立方体の上面を延長した正三角形の断面を考えると（Ｑ１）と同じ状況が現れます．

　正四面体の１辺の長さを１とし，立方体の上面を延長させた面が正四面体の斜辺をｙ：１−ｙに内分するとき

　　（２√３−３）ｙ＝（１−ｙ）ｓｉｎ６０°・ｓｉｎδ

　ここでδは正四面体の二面角で，ｃｏｓδ＝１／３ですから，

　　ｓｉｎδ＝２√２／３

したがって，

　　（２√３−３）ｙ＝（１−ｙ）（３／２）^1/2

　　ｙ＝√２／（６−３√３＋√２）

　立方体の１辺の長さは

　　ｄ＝（２√３−３）ｙ＝６／（６＋４√３＋３√６）＝0.295907

ですから，求める体積比は

　　｛６／（６＋４√３＋３√６）｝^3・１２／√２＝0.219852

　ここで，中川宏からの質問です．

（Ｑ３）正四面体の頂点方向からみて，立方体の底面の正方形の頂点は正四面体の底面の正三角形の３辺から等距離にありますか？

（Ａ３）

　（１−ｙ）ｓｉｎ６０°・ｃｏｓδ＝（２√３−３）ｙ・ｃｏｔδ＝.104609

　一方，直線ｙ＝√３（ｘ＋１／２）と点（−ｄ／２，ｄ（１＋ｃｏｔδ）の距離を求めると.104609，よって等しい．実にバランスよく収まっているように見えるのはそのためであろう．

（Ｑ４）正四面体の頂点からでる３稜は，立方体の上面の正方形の辺を１：２に分けていますか？

（Ａ４）直線ｙ＝ｘ／√３＋√３／６と直線ｘ＝−ｄ／２の交点のｙ座標は.203254．

　一方，区間［ｄｃｏｔδ，ｄ（１＋ｃｏｔδ）］の１：２内分点は

　　ｄ（３ｄｃｏｔδ＋１）／３=.203254

であるから，これも等しい．

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【２】Ｏ　ｉｎ　Ｔ

　正四面体の６個の辺の中点を結ぶと正四面体の中に正八面体ができますが，その正八面体が正四面体に内接する最大の正八面体です．したがって，その体積比は１／２となります．

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【３】Ｉ　ｉｎ　Ｔ

　正二十面体の辺心図において，［１，１，１］方向を向く切頂面は８面ありますが，このうちの４面が正四面体の４面と接する配置をとるとき，正四面体に内接する最大の正二十面体が得られます．

　　ｄ＝（√５−１）／２＝１／φ

とおくと，この切頂面は点（０，１，ｄ），（ｄ，０，１），（１，ｄ，０）を通りますから

　　ｘ＋ｙ＋ｚ＝１＋ｄ＝φ

で表されます．

　このことから，正四面体の１辺の長さは

　　２√２φ

体積比は

　　（２ｄ）^3（１５＋５√５）／１２／｛（２√２φ）^3√２／１２）｝

　　＝（１５＋５√５）／４φ^6＝0.364745

であることがわかります．

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【４】Ｄ　ｉｎ　Ｔ

　クロフトのやり残した未解決問題です．

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